Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(1-x)×(x-5), y=4 и x=1.​

Answer 1

Ответ:

$y = \frac{1}{x} . \\ y = 1 . \\ x = 4 .$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (1 - x) \cdot (x - 5)$, $y = 4$ и $x = 1$, нужно сначала найти точки их пересечения, а затем найти площадь фигуры между этими линиями.

1. Первым шагом найдем точки пересечения линий $y = (1 - x) \cdot (x - 5)$ и $y = 4$:

$(1 - x) \cdot (x - 5) = 4$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 6x + 5) = 4$

Теперь выразим это уравнение в виде $x^2 - 6x + 5 - 4 = 0$, что упростится до $x^2 - 6x + 1 = 0$.

2. Решим квадратное уравнение:

Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -6$, и $c = 1$, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1$

$\Delta = 36 - 4$

$\Delta = 32$

Дискриминант $\Delta$ равен 32, что больше нуля, поэтому у нас есть два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{32}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{32}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: $x = 3 + 2\sqrt{2}$ и $x = 3 - 2\sqrt{2}$.

3. Теперь мы можем найти соответствующие значения y, используя линию $y = (1 - x) \cdot (x - 5)$:

Для $x = 3 + 2\sqrt{2}$:

$y_1 = (1 - (3 + 2\sqrt{2})) \cdot ((3 + 2\sqrt{2}) - 5) = (-2\sqrt{2}) \cdot (-2\sqrt{2}) = 8$

Для $x = 3 - 2\sqrt{2}$:

$y_2 = (1 - (3 - 2\sqrt{2})) \cdot ((3 - 2\sqrt{2}) - 5) = (2\sqrt{2}) \cdot (-2\sqrt{2}) = -8$