Question

Система уравнений: sinx*cosy = 1/4 3tgx=tgy

Answer 1

Ответ:

x₁=π/6+mπ, y₁=π/3+nπ, x₂=-π/6+mπ, y₂=-π/3+nπ,  m, n∈Z.

Объяснение:

sinxcosy = 1/4

3tgx=tgy

Преобразуем второе уравнение, умножив обе части на cosxcosy

3tgxcosxcosy=tgycosxcosy

3sinxcosy=sinycosx

Вычтем последнее равенство из первого умноженного на 4

4sinxcosy-3sinxcosy = 1-sinycosx

sinxcosy=1-sinycosx

sinxcosy+sinycosx=1

sin(x+y)=1

x+y=π/2+2kπ, k∈Z

x=-y+π/2+2kπ

Подставим в первое уравнение

sinxcosy = 1/4

sin(-y+π/2+2kπ)cosy = 1/4

sin(-y+π/2+2kπ)=sin(-y+π/2)=cosy Формулы приведения

cosy cosy = 1/4

cos²y = 1/4

cos²y =(1+cos2y)/2 Формула половинного аргумента

(1+cos2y)/2=1/4

1+cos2y=1/2

cos2y=-1/2

2y=±2π/3+2nπ

y=±π/3+nπ

y₁=π/3+nπ, y₂=-π/3+nπ

x₁=-y₁+π/2+2kπ=-π/3-nπ+π/2+2kπ=π/6+mπ, m∈Z

x₂=-y₂+π/2+2kπ=π/3-nπ+π/2+2kπ=5π/6+tπ=-π/6+mπ, m∈Z

Answer 2

Давайте рассмотрим систему уравнений:

1. $\sin(x) \cos(y) = \frac{1}{4}$
2. $3\tan(x) = \tan(y)$

Для решения этой системы уравнений давайте начнем с уравнения №2:

$3\tan(x) = \tan(y)$

Мы можем выразить $\tan(y)$ через $\tan(x)$:

$\tan(y) = 3\tan(x)$

Теперь подставим это значение в уравнение №1:

$\sin(x) \cos(y) = \frac{1}{4}$

$\sin(x) \cos(3\tan(x)) = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение численно с использованием численных методов, таких как метод Ньютона. Но также имейте в виду, что у этой системы может быть несколько решений, и они могут быть сложными. Решение этой системы зависит от конкретных ограничений, которые вы хотите наложить на переменные x и y.