Question

Докажите, что в выражении {2024}^{2}*{2023}^{2}*{2022}^{2}*...*{2}^{2}*{1}^{2} знак «*» можно заменить знаками «`+`» и «`-`» так, чтобы полученное выражение равнялось `2024`

Answer 1

$2024^2*2023^2*2022^2*...*2^2*1^2$

Заменим звездочки на знаки ("минус", "минус", "плюс", "плюс") по порядку. Тогда получим выражение:

$2024^2-2023^2-2022^2+2021^2+...+4^2-3^2-2^2+1^2$

Запишем выражение с использованием скобок:

$(2024^2-2023^2)-(2022^2-2021^2)+...+(4^2-3^2)-(2^2-1^2)$

Применяя формулу разности квадратов, получим:

$(2024-2023)(2024+2023)-(2022-2021)(2022+2021)+...+$

$+(4-3)(4+3)-(2-1)(2+1)$

Заметим, что в каждом из произведений первая скобка равна 1. Поэтому выражение можно упростить:

$(2024+2023)-(2022+2021)+...+(4+3)-(2+1)$

Рассмотрим скобки парами, или же сами числа четверками. Рассмотрим первую четверку чисел:

$(2024+2023)-(2022+2021)=(2024-2022)+(2023-2021)=2+2=4$

Рассуждая аналогично, можно понять, что каждая из таких четверок дает в сумме 4. Но таких четверок в 4 раза меньше, чем самих чисел. Значит, общая сумма чисел равна их количеству, то есть 2024.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение и попробуем разложить его на слагаемые с использованием знаков + и -.

Имеется произведение следующего вида:

${2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot {2022}^{2} \cdot \ldots \cdot {2}^{2} \cdot {1}^{2}$

Разложим каждый множитель на два слагаемых с использованием формулы $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$:

${2024}^{2} = {2025}^{2} - {1}^{2}$ ${2023}^{2} = {2024}^{2} - {1}^{2}$ ${2022}^{2} = {2023}^{2} - {1}^{2}$ $\ldots$ ${2}^{2} = {3}^{2} - {1}^{2}$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

${2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot {2022}^{2} \cdot \ldots \cdot {2}^{2} \cdot {1}^{2}$ $= ({2025}^{2} - {1}^{2}) \cdot ({2024}^{2} - {1}^{2}) \cdot ({2023}^{2} - {1}^{2}) \cdot \ldots \cdot ({3}^{2} - {1}^{2}) \cdot {1}^{2}$

Теперь раскроем скобки и увидим, что многие слагаемые сократятся:

$= {2025}^{2} \cdot {2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot \ldots \cdot {3}^{2} - {1}^{2} \cdot {2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot \ldots \cdot {1}^{2}$

Таким образом, множество слагаемых с $1^{2}$ сократится, и у нас останется следующее:

$= {2025}^{2} \cdot {2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot \ldots \cdot {3}^{2} - {2024}^{2}$

Теперь мы видим, что первое слагаемое в этом выражении соответствует исходному выражению:

${2025}^{2} \cdot {2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot \ldots \cdot {3}^{2}$

А второе слагаемое у нас - это $2024^{2}$. Следовательно, выражение можно записать как:

${2025}^{2} \cdot {2024}^{2} \cdot {2023}^{2} \cdot \ldots \cdot {3}^{2} - {2024}^{2} = 2025^{2} = 2024$

Таким образом, мы доказали, что можно заменить знаки * на знаки + и - так, чтобы полученное выражение равнялось 2024.