Question

Докажите неравенство (3а-2) (2а+4)-(2а-3)^2>_ 4(5а-4)-1​

Answer 1

Ответ:

(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)² ≥ 4(5a - 4) - 1

6a² + 12a - 4a - 8 - (4a² - 12a + 9) ≥ 20a - 16 - 1

6a² + 12a - 4a - 8 - 4a² + 12a - 9 ≥ 20a - 17

2a² + 20a - 17 ≥ 20a - 17

2a² ≥ 0

Так как всегда a² ≥ 0, неравенство верно для всех значений переменной а. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать данное неравенство, начнем с его левой стороны:

(3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2

Сначала упростим выражение в скобках:

(3a - 2)(2a + 4) = 6a^2 + 12a - 4a - 8 = 6a^2 + 8a - 8

Теперь упростим квадрат во второй скобке:

(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9

Теперь мы можем переписать левую часть неравенства:

6a^2 + 8a - 8 - (4a^2 - 12a + 9)

Теперь вычтем выражение во вторых скобках из выражения в первых скобках:

6a^2 + 8a - 8 - 4a^2 + 12a - 9 = 2a^2 + 20a - 17

Теперь давайте рассмотрим правую сторону неравенства:

4(5a - 4) - 1 = 20a - 16 - 1 = 20a - 17

Теперь у нас есть неравенство:

2a^2 + 20a - 17 ≥ 20a - 17

Заметим, что на обеих сторонах неравенства есть выражения "-17", и они уравниваются. Поэтому неравенство можно упростить еще дальше:

2a^2 + 20a - 17 ≥ 20a - 17

Теперь выразим общие члены справа и слева:

2a^2 ≥ 0

Это неравенство верно для любого значения a, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Таким образом, исходное неравенство (3a - 2)(2a + 4) - (2a - 3)^2 ≥ 4(5a - 4) - 1 верно для любого значения a.