Question

Решить в целых числах (продолжение): (x^2+y^2)(x+y-3)=2xy (вопрос создан для конкретного пользователя)

Answer 1

(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy

1. виден сразу первый ответ x = 0 y = 0

x² + y²= 0  xy = 0

2. рассмотрим x = 0

y²(y - 3) = 0

y = 0

y = 3

3. рассмотрим y = 0

x²(x - 3) = 0

x = 0

x = 3

4. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y > 0 одного знака

так как x+y-3  целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим

(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy

(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2

x/y + y/x - целое и ≥ 2

x + y - 3 целое и  > 0 и < 2

значит

x/y + y/x = 2

x + y - 3 = 1

----

(x - y)² = 0

x + y = 4

----

x = y

x = 2  y = 2

5. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y < 0 одного знака

так как x^2+y^2 > 0  2xy > 0

а (x + y - 3) < 0

решений нет

6. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y разных знаков

так как x+y-3  целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим

(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy

(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2

(x/y + y/x) - целое и ≥ -2

x + y - 3 целое и  < 0 и > -2

значит

-(x/y + y/x) = 2

x + y - 3 = -1

----

(x + y)² = 0

x + y = 2

----

x = -y

0 = -2 решений нет

ответ (0,0) (0,3) (3,0) (2,2)

Answer 2

Ответ:

(0;0); (0;3); (3;0); (2;2)

Объяснение:

Answer 3

Для решения уравнения $(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy$ в целых числах мы можем воспользоваться различными методами. Один из способов - анализировать возможные значения $x$ и $y$.

Обратите внимание, что умножение двух целых чисел $x^2 + y^2$ и $(x+y-3)$ дают целочисленный результат. Следовательно, их произведение $2xy$ также должно быть целым числом. Поскольку мы ищем целые решения, давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Оба множителя $x^2 + y^2$ и $(x+y-3)$ равны 1.
2. Один из множителей равен 2, а другой равен 1.
3. Один из множителей равен -1, а другой равен -2.

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

Случай 1: $x^2 + y^2 = 1$ и $x + y - 3 = 1$

Из уравнения $x + y - 3 = 1$, мы можем выразить одну переменную через другую: $x = 4 - y$. Подставим это в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:

$(4 - y)^2 + y^2 = 1$ $16 - 8y + y^2 + y^2 = 1$ $2y^2 - 8y + 15 = 0$

Это квадратное уравнение вида $2y^2 - 8y + 15 = 0$, но оно не имеет целых корней.

Случай 2: $x^2 + y^2 = 2$ и $x + y - 3 = 2$

Из уравнения $x + y - 3 = 2$, мы можем выразить одну переменную через другую: $x = 5 - y$. Подставим это в уравнение $x^2 + y^2 = 2$:

$(5 - y)^2 + y^2 = 2$ $25 - 10y + y^2 + y^2 = 2$ $2y^2 - 10y + 23 = 0$

Это квадратное уравнение также не имеет целых корней.

Случай 3: $x^2 + y^2 = -1$ и $x + y - 3 = -2$

Этот случай не имеет целых решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной.

Следовательно, уравнение $(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy$ не имеет целых решений в данной форме.