Question

Решите пожалуйста!!! С полным решением !!! корень из 2 sin^2 (x+п/2)=cos (x-п) на промежутке (-3п/4;п/4)

Answer 1

Ответ:

x={-π/2; -2π/3}

Объяснение:

Используя формулы приведения

cos(x-π)=-cosx

sin(x+π/2)=cosx

2sin²(x+π/2)=cos(x-π)

2cos²x=-cosx

2cos²x+cosx=0

cosx(2cosx+1)=0

1) cosx=0

x=π/2+kπ, k∈Z

x∈(-3π/4; π/4)⇒x=-π/2

2) 2cosx+1=0

2cosx=-1

cosx=-0,5

x=±2π/3+2kπ

x∈(-3π/4; π/4)⇒x=-2π/3

Answer 2

Для начала приведем данное уравнение к более удобному виду. Используя тригонометрические тождества, получим:

корень из 2 * sin^2(x + pi/2) = cos(x - pi)

Заменим функции тригонометрическими формулами:

корень из 2 * (1 - cos^2(x)) = cos(x - pi)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

корень из 2 - 2 * (корень из 2 * cos^2(x)) + cos^2(x) = cos(x - pi)

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

2 * корень из 2 * cos^2(x) + cos^2(x) - корень из 2 = cos(x - pi)

Обозначим cos(x) = t и подставим это выражение в уравнение:

2 * корень из 2 * t^2 + t^2 - корень из 2 = cos(arccos(t) - pi)

Выразим cos(arccos(t) - pi) через значение t:

cos(arccos(t) - pi) = -t

Получим следующее уравнение:

3 * t^2 - 2 * корень из 2 * t - корень из 2 = 0

Для решения этого уравнения применим квадратное уравнение:

D = (-2 * корень из 2)^2 - 4 * 3 * (-корень из 2) = 8 + 12 * корень из 2

t₁ = (-(-2 * корень из 2) + корень из D) / (2 * 3) = (2 * корень из 2 + корень из (8 + 12 * корень из 2)) / 6

t₂ = (-(-2 * корень из 2) - корень из D) / (2 * 3) = (2 * корень из 2 - корень из (8 + 12 * корень из 2)) / 6

Теперь найдем значения функции cos(x) по полученным значениям t₁ и t₂:

cos(x₁) = t₁, cos(x₂) = t₂

x₁ = arccos(t₁) + 2 * k * pi, x₂ = arccos(t₂) + 2 * k * pi, где k - целые числа

Таким образом, получаем все значения x на заданном промежутке: x = arccos(t₁) + 2 * k * pi и x = arccos(t₂) + 2 * k * pi, где k - целые числа.

В данном случае промежуток (-3pi/4; pi/4) не учитывает полные решения, поэтому для полного ответа нужно учесть все значения x на промежутках, полученных при k = 0, 1, 2 и т.д., пока эти значения находятся в заданном интервале.