Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=√3x + 1, параллельной прямой y = 3/4x + 1.

Answer 1

Производная функции равна угловому коэффициенту касательной.

Находим производную: y' = (√(3x) + 1)' = √3/2√x.

Приравняем производную значению 3/4.

√3/2√x = 3/4.

6√x = 4√3.

√x = (4/6)√3, возведём в квадрат.

х = 48/36 = 4/3. Это абсцисса точки касания.

Найдём её ординату.

у = √(3*(4/3) + 1 = 2 + 1 = 3.

Уравнение касательной:

у = (3/4)(х - (4/3)) + 3 = (3/4)х - 1 + 3 = (3/4)х + 2.

Ответ: (3/4)х + 2.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = √3x + 1, параллельной прямой y = (3/4)x + 1, мы должны использовать следующий факт: касательная и параллельная прямая имеют одинаковый наклон.

Уравнение функции f(x) = √3x + 1 на самом деле является уравнением полуокружности с центром в точке (-1, 1) и радиусом sqrt(3). Используя эту информацию, мы можем найти производную функции f(x).

f'(x) = (d/dx) (√3x + 1) = √3.

Теперь мы знаем, что наклон касательной составляет √3. Учитывая это, мы можем записать уравнение касательной в виде:

y = (√3)x + b.

Теперь нам нужно найти значение b. Мы знаем, что прямая параллельная прямой y = (3/4)x + 1 и имеет тот же наклон. Значит, коэффициент при x в обоих уравнениях должен быть одинаковым.

(3/4) = √3.

Решим это уравнение относительно b:

b = y - (√3)x = 1 - (√3)*(-1) = 1 + √3.

Таким образом, уравнение касательной будет:

y = (√3)x + (1 + √3).

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = √3x + 1, параллельной прямой y = (3/4)x + 1, имеет вид y = (√3)x + (1 + √3).