Question

ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО 1) cos²(180°-x)+cos²(270°+x)-tgx•ctg(180°+x)=0​

Answer 1

$Cos^{2}(180^\circ -x)+Cos^{2}(270^\circ+x)-tgx\cdot Ctg(180^\circ+x)=\\\\=\underbrace{Cos^{2}x+Sin^{2}x}_{1}-\underbrace{tgx\cdot Ctgx}_{1}= 1-1=0\\\\0=0$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте начнем:

1) Используем тригонометрическое тождество cos(180° - x) = -cos(x):

cos²(180° - x) = (-cos(x))² = cos²(x)

2) Используем тригонометрическое тождество cos(270° + x) = -sin(x):

cos²(270° + x) = (-sin(x))² = sin²(x)

3) Используем тригонометрическое тождество tg(x) = sin(x) / cos(x) и ctg(x) = cos(x) / sin(x):

tg(x) • ctg(180° + x) = (sin(x) / cos(x)) • (cos(x) / sin(x)) = 1

Теперь, объединим все эти результаты:

cos²(180° - x) + cos²(270° + x) - tg(x) • ctg(180° + x) = cos²(x) + sin²(x) - 1

По тригонометрическому тождеству sin²(x) + cos²(x) = 1, мы можем заменить cos²(x) + sin²(x) на 1:

cos²(x) + sin²(x) - 1 = 1 - 1 = 0

Таким образом, мы доказали тождество:

cos²(180° - x) + cos²(270° + x) - tg(x) • ctg(180° + x) = 0

Ответ: Доказано.