Question

Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство (2x – 5)(2x+5)+ 28x < (2x +7)”. Срочно

Answer 1

$(2x-5)(2x+5)+28x$

Полученное неравенство не зависит от значения переменной х и верно, т.к.   любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Поэтому,  при любых значениях переменной х, исходное неравенство выполнимо.  Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(2x – 5)(2x + 5) + 28x < (2x + 7)

4x^2 - 25 + 28x < 2x + 7

Соберем все слагаемые в одну сторону и упростим:

4x^2 + 26x - 32 < 0

Теперь решим данное квадратное неравенство.

Для начала найдем корни квадратного трехчлена:

D = b^2 - 4ac = 26^2 - 4*4*(-32) = 676 + 512 = 1188

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-26 ± √1188) / 8 = (-26 ± √(4*297)) / 8 = (-26 ± 2√297) / 8 = (-13 ± √297) / 4

Так как коэффициент перед x^2 положительный (4 > 0), то парабола направлена вверх и неравенство может быть выполнено только в интервалах, где функция меньше нуля.

Исследуем знак выражения 4x^2 + 26x - 32 на каждом из интервалов:

1) (–∞ ; (-13 - √297) / 4) Подставим произвольное число, меньшее (-13 - √297) / 4: Например, x = -14 4*(-14)^2 + 26*(-14) - 32 = 784 - 364 - 32 = 388 - 32 = 356 > 0 Таким образом, на данном интервале знак ">0".

2) ((-13 - √297) / 4 ; (-13 + √297) / 4) Подставим произвольное число, между ((-13 - √297) / 4) и ((-13 + √297) / 4): Например, x = -12 4*(-12)^2 + 26*(-12) - 32 = 576 - 312 - 32 = 244 - 32 = 212 > 0 Таким образом, на данном интервале знак ">0".

3) ((-13 + √297) / 4 ; +∞) Подставим произвольное число, большее ((-13 + √297) / 4): Например, x = 0 4*(0)^2 + 26*(0) - 32 = 0 Таким образом, на данном интервале выражение равно нулю.

Итак, на интервалах (–∞ ; (-13 - √297) / 4) и ((-13 + √297) / 4 ; +∞) выражение 4x^2 + 26x - 32 > 0, а на интервале ((-13 - √297) / 4 ; (-13 + √297) / 4) выражение равно нулю.

Исходное неравенство (2x – 5)(2x + 5) + 28x < (2x + 7) будет выполнено на интервалах, где 4x^2 + 26x - 32 < 0, то есть на интервалах (–∞ ; (-13 - √297) / 4) и ((-13 + √297) / 4 ; +∞).