Question

Доведіть що при всіх значеннях а>3 вираз а+3/а-3-а-3/а+3+36/а2-9 набуваає тільки додатних значень

Answer 1

Преобразуем исходное выражение, приведя дроби (а + 3) / (а - 3) и (а - 3) / (а + 3) к общему знаменателю и выясним, какие значения принимает преобразованное выражение при а > 3.

(а + 3) / (а - 3) - (а - 3) / (а + 3) + 36 / (а^2 - 9) = (а + 3) * (а + 3) / ((а - 3) * (а + 3)) - (а - 3) * (а - 3) / ((а - 3) * (а + 3)) + 36 / (а^2 - 9) = (а + 3)^2 / (а^2 - 9) - (а - 3)^2 / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = ((а + 3)^2 - (а - 3)^2) / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = 12a / (а^2 - 9) + 36 / (а^2 - 9) = (36 + 12a) / (а^2 - 9).

Так как при а > 3 и числитель и знаменатель полученного выражения больше 0, то и исходное выражение положительно при а > 3.

Answer 2

Щоб довести, що вираз a/(a-3) - a/(a+3) + 36/(a^2-9) набуває тільки додатних значень при всіх значеннях a > 3, розглянемо кожен доданок окремо.

Доданок a/(a-3):

Цей доданок буде додатнім, якщо чисельник (a) і знаменник (a-3) мають однаковий знак. Оскільки ми розглядаємо випадок, коли a > 3, то чисельник і знаменник будуть додатніми. Тому доданок a/(a-3) буде додатнім.

Доданок -a/(a+3):

Цей доданок буде додатнім, якщо чисельник (-a) і знаменник (a+3) мають протилежні знаки. Оскільки ми розглядаємо випадок, коли a > 3, то чисельник буде від'ємним, а знаменник - додатнім. Тому доданок -a/(a+3) буде додатнім.

Доданок 36/(a^2-9):

Цей доданок буде додатнім, якщо чисельник (36) і знаменник (a^2-9) мають однаковий знак. Оскільки ми розглядаємо випадок, коли a > 3, то чисельник і знаменник будуть додатніми. Тому доданок 36/(a^2-9) буде додатнім.

Отже, всі три доданки у виразі a/(a-3) - a/(a+3) + 36/(a^2-9) є додатніми. Тому, при всіх значеннях a > 3, цей вираз набуває тільки додатних значень.

Будь ласка, дайте знати, якщо у вас є ще якісь питання!