Question

Доведіть нерівність x 2 + 10y 2 + 6xy − 8y + 16 ≥ 0.

Answer 1

Ответ:

(x + 3y)2 + (y - 4) 2 ≥ 0

Объяснение:

Квадрат из любой скобки делает положительное число, а здесь выходит сумма двух квадратов

Answer 2

Щоб розв'язати дану нерівність \(x^2 + 10y^2 + 6xy - 8y + 16 \geq 0\), спробуємо виділити квадратний біном для часткової факторизації. Для цього розглянемо перші два додані (квадратичні члени) та останні два додані (константи):

\[x^2 + 10y^2 + 6xy - 8y + 16\]

Поєднуємо перший та останній член як квадратний біном:

\[(x^2 + 6xy + 9y^2) + (10y^2 - 8y + 16)\]

Тепер можемо спростити вираз в дужках, враховуючи, що \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\):

\[(x + 3y)^2 + (10y^2 - 8y + 16)\]

Тепер наша нерівність виглядає так:

\[(x + 3y)^2 + (10y^2 - 8y + 16) \geq 0\]

Тепер ми маємо квадратний біном і квадратну формулу для другого доданого виразу. Тепер подивимося на той другий вираз:

\[10y^2 - 8y + 16\]

Це квадратний тричлен у змінній \(y\). Ми можемо спростити його, використовуючи квадратну формулу \(ax^2 + bx + c\):

\[a = 10, \quad b = -8, \quad c = 16\]

Знайдемо дискримінант (\(D\)) формули \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 16 = 64 - 640 = -576\]

Дискримінант від'ємний, що означає, що цей тричлен ніколи не стане додатнім для будь-якого значення \(y\). Тобто вираз \(10y^2 - 8y + 16\) завжди залишатиметься невід'ємним (або дорівнюватиме нулю), оскільки він ніколи не стане додатнім.

Отже, остаточний висновок: нерівність \(x^2 + 10y^2 + 6xy - 8y + 16 \geq 0\) виконується для будь-яких значень \(x\) та \(y\).