Question

Упражнения 131 Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (х + 8) (х – 5) > 0; в) (х -3,5) (x+8,5) 20; 1 1 6) (x - 14) (x + 10) < 0; г) х+ х+ 0; г) (х + 0,1) (x+6,3) 20. 133 Решите неравенство: а) (x — 2) (х – 5) (х – 12) > 0; б) (х + 7) (x+ 1) (х – 4) < 0; в) х (х + 1) (х + 5) (х – 8) > 0.​

Answer 1

Ответ:

1)

    ------- -8------------- 5-------------

        +             -                 +

х∈(-∞; -8)∪(5; ∞)

 

------- -10------------14------

  +                -                 +    x∈(10;14)

2)  

   ------ -5---------- -1----------- 0---------- 8---------

     +            -               +                -               +

x∈(-∞; -5)∪(-1; 0)∪(8;∞)

КАК-ТО ТАК Я ДУМАЮ ТУТ ВСЁ ПОНЯТНО

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое из предложенных неравенств:

1. \( (x + 8)(x - 5) > 0 \)

Для начала, найдем корни уравнения \( (x + 8)(x - 5) = 0 \). Это происходит, когда либо \( x + 8 = 0 \), либо \( x - 5 = 0 \).

a) \( x + 8 = 0 \) \( x = -8 \)

b) \( x - 5 = 0 \) \( x = 5 \)

Таким образом, у нас есть три интервала:

1. \( x < -8 \) 2. \(-8 < x < 5\) 3. \( x > 5 \)

Теперь выберем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения \( (x + 8)(x - 5) \):

1. Пусть \( x = -9 \) \( (-9 + 8)(-9 - 5) = (-1)(-14) = 14 > 0 \) - знак положителен.

2. Пусть \( x = 0 \) \( (0 + 8)(0 - 5) = (8)(-5) = -40 < 0 \) - знак отрицателен.

3. Пусть \( x = 6 \) \( (6 + 8)(6 - 5) = (14)(1) = 14 > 0 \) - знак положителен.

Итак, решение неравенства: \( x \in (-\infty, -8) \cup (5, +\infty) \).

2. \( (x - 3.5)(x + 8.5) + 20 < 0 \)

По аналогии, найдем корни уравнения \( (x - 3.5)(x + 8.5) + 20 = 0 \):

a) \( x - 3.5 = 0 \) \( x = 3.5 \)

b) \( x + 8.5 = 0 \) \( x = -8.5 \)

Три интервала:

1. \( x < -8.5 \) 2. \(-8.5 < x < 3.5\) 3. \( x > 3.5 \)

Проверим знак в каждом интервале:

1. Пусть \( x = -9 \) \( ((-9 - 3.5)(-9 + 8.5) + 20) = ((-12.5)(-0.5) + 20) = 26.25 > 0 \) - знак положителен.

2. Пусть \( x = 0 \) \( ((0 - 3.5)(0 + 8.5) + 20) = ((-3.5)(8.5) + 20) = -6.25 < 0 \) - знак отрицателен.

3. Пусть \( x = 4 \) \( ((4 - 3.5)(4 + 8.5) + 20) = ((0.5)(12.5) + 20) = 26.25 > 0 \) - знак положителен.

Решение неравенства: \( x \in (-\infty, -8.5) \cup (3.5, +\infty) \).

3. \( (x - 14)(x + 10) < 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x - 14)(x + 10) = 0 \):

a) \( x - 14 = 0 \) \( x = 14 \)

b) \( x + 10 = 0 \) \( x = -10 \)

Три интервала:

1. \( x < -10 \) 2. \(-10 < x < 14\) 3. \( x > 14 \)

Проверим знак в каждом интервале:

1. Пусть \( x = -11 \) \( ((-11 - 14)(-11 + 10)) = ((-25)(-1)) = 25 > 0 \) - знак положителен.

2. Пусть \( x = 0 \) \( ((0 - 14)(0 + 10)) = ((-14)(10)) = -140 < 0 \) - знак отрицателен.

3. Пусть \( x = 15 \) \( ((15 - 14)(15 + 10)) = ((1)(25)) = 25 > 0 \) - знак положителен.

Решение неравенства: \( x \in (-\infty, -10) \cup (14, +\infty) \).

4. \( x^2 + x - 0.1(x + 6.3) + 20 \)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ x^2 + x - 0.1x - 0.63 + 20 \]

\[ x^2 + 0.9x + 19.37 \]

Теперь решим уравнение \( x^2 + 0.9x + 19.37 = 0 \) с использованием дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (0.9)^2 - 4(1)(19.37) \]

\[ D = 0.81 - 77.48 \]

\[ D = -76.67 \]

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, выражение \( x^2 + 0.9x + 19.37 \) всегда положительно, и неравенство \( x + 0.1(x + 6.3) + 20 > 0 \) выполняется для всех значений \( x \).

5. \( (x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0 \