Question

Исследуйте функцию на монотонность и найдите экстремумы: у=-2x^3+24x+5 ​

Answer 1

Ответ:

y=5

Объяснение:

y=-$2x^{3}$+24x+5

y=-2×$0^{3}$+24×0+5

y=5

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на монотонность и найти её экстремумы, нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить интервалы возрастания и убывания, найти точки экстремума, а также провести исследование второй производной для выявления выпуклости и вогнутости функции. Давайте проведем эти шаги для вашей функции \(y = -2x^3 + 24x + 5\).

Шаг 1: Находим производные

Найдем первую и вторую производные функции \(y\):

\[y' = \frac{dy}{dx}\] \[y'' = \frac{d^2y}{dx^2}\]

\[y' = -6x^2 + 24\] \[y'' = -12x\]

Шаг 2: Находим точки, где производная равна нулю

Для нахождения точек, где производная равна нулю, решим уравнение \(y' = 0\):

\[-6x^2 + 24 = 0\]

Решение этого уравнения дает две точки: \(x = -2\) и \(x = 2\).

Шаг 3: Интервалы возрастания и убывания

Теперь разбиваем область определения функции на интервалы между найденными точками и проверяем знак производной в каждом интервале:

1. При \(x < -2\), выбираем \(x = -3\), например. Подставляем в \(y'\): \(-6(-3)^2 + 24 > 0\). Значит, функция возрастает на этом интервале. 2. При \(-2 < x < 2\), выбираем \(x = 0\), например. Подставляем в \(y'\): \(-6(0)^2 + 24 < 0\). Значит, функция убывает на этом интервале. 3. При \(x > 2\), выбираем \(x = 3\), например. Подставляем в \(y'\): \(-6(3)^2 + 24 > 0\). Значит, функция возрастает на этом интервале.

Шаг 4: Находим экстремумы

Так как функция убывает на интервале \((-2, 2)\) и возрастает на интервалах \((-∞, -2)\) и \((2, +∞)\), то точки \(x = -2\) и \(x = 2\) являются локальными минимумом и максимумом соответственно.

Шаг 5: Исследование второй производной

Исследуем выпуклость и вогнутость функции с помощью второй производной \(y''\):

1. При \(x < -2\), \(y''(-3) = -12(-3) < 0\). Функция вогнута. 2. При \(-2 < x < 2\), \(y''(0) = -12(0) = 0\). Дальнейшее исследование требуется. 3. При \(x > 2\), \(y''(3) = -12(3) < 0\). Функция вогнута.

Таким образом, у нас есть локальный максимум при \(x = 2\) и точка перегиба при \(x = 0\).

Итоговый вывод:

- Функция убывает на интервале \((-∞, -2)\), достигает локального минимума в точке \(x = -2\). - Функция возрастает на интервале \((2, +∞)\), достигает локального максимума в точке \(x = 2\). - Функция имеет точку перегиба в точке \(x = 0\).

Таким образом, мы исследовали функцию на монотонность и нашли её экстремумы.