Question

На доске были написаны числа 1,2,3,…,255. Петя стёр несколько из них. Оказалось, что среди оставшихся чисел никакое не делится на разность никаких двух других. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Answer 1

254 cunki bele istedimbababahahshsjhdux

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать метод математической индукции.

Первое число, которое Петя стер, может быть любым из чисел 2, 3, ..., 255. Допустим, Петя стер число k.

Пусть после стирания числа k на доске осталось n чисел, которые никак не делятся на разность никаких двух других чисел.

Рассмотрим случай, когда Петя стерал число k.

1. При k = 2, осталось n = 128 чисел (1, 3, 5, ..., 255). Все оставшиеся числа не делятся на разность никаких двух других чисел, так как разность между любыми двумя числами из этого множества будет равна 2, и нет таких чисел, которые были бы делящимися на 2.

2. Допустим, при некотором k = m (2 <= m <= 255) осталось n чисел, которые никак не делятся на разность никаких двух других чисел.

Проверим, что при k = m + 1, останется n-1 чисел, которые также не делятся на разность никаких двух других чисел.

Если m + 1 является простым числом, то все остальные числа, кроме m + 1, взаимно просты с разностью 1 и m + 1, и следовательно, ни одно из них не будет делиться на разность никаких двух других чисел. Таким образом, останутся n-1 чисел.

Если m + 1 является составным числом, оно имеет делители p и q (1 < p, q < m + 1). Рассмотрим два случая:

- Если p и q лежат в диапазоне от 2 до m (включительно), то по предположению индукции останется n-1 чисел, которые не делятся на разность никаких двух других чисел. - Если один из делителей равен m + 1, например, p = m + 1, то все оставшиеся числа, кроме m + 1, взаимно просты с разностью 1 и m + 1, и следовательно, ни одно из них не будет делиться на разность никаких двух других чисел. Останется n-1 чисел.

Таким образом, при k = m + 1 на доске останется n-1 чисел, которые не делятся на разность никаких двух других чисел.

Таким образом, по основному принципу математической индукции, наибольшее количество чисел, которое могло остаться на доске, равно 128.