Question

Решите уравнение arctg^2x+Пarcctgx-2П^2=0 помогите пожалуйста

Answer 1

$\mathrm{arctg}\,^2x+\pi\,\mathrm{arcctg}\,x-2\pi ^2=0$

$\mathrm{arctg}\,^2x+\pi\left(\dfrac{\pi }{2}- \mathrm{arctg}\,x\right)-2\pi ^2=0$

$\mathrm{arctg}\,^2x+\dfrac{\pi^2 }{2}- \pi\,\mathrm{arctg}\,x-2\pi ^2=0$

$2\,\mathrm{arctg}\,^2x+\pi^2 - 2\pi\,\mathrm{arctg}\,x-4\pi ^2=0$

$2\,\mathrm{arctg}\,^2x - 2\pi\,\mathrm{arctg}\,x-3\pi ^2=0$

$D_1=(-\pi )^2-2\cdot(-3\pi ^2)=\pi ^2+6\pi ^2=7\pi ^2$

$\mathrm{arctg}\,x=\dfrac{\pi \pm\sqrt{7\pi ^2} }{2} =\dfrac{\pi \pm\pi \sqrt{7} }{2} =\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$

Отметим, что функция арктангенса дает значения из интервала $\left(-\dfrac{\pi }{2} ;\ \dfrac{\pi }{2} \right)$.

Но ни одно из двух значений $\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$ не принадлежит этому интервалу в силу того, что $|1\pm\sqrt{7} |>1$. Значит, уравнение $\mathrm{arctg}\,x=\dfrac{\pi(1 \pm \sqrt{7}) }{2}$ не имеет решений. Тогда и исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \( \arctan^2(x) + \text{arccot}(x) - 2\pi^2 = 0 \) и попробуем его решить.

Обозначим \( \arctan(x) \) как \( a \). Тогда у нас есть следующие тождества:

1. \( \arctan^2(x) = a^2 \) 2. \( \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} - a \)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[ a^2 + \left(\frac{\pi}{2} - a\right) - 2\pi^2 = 0 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ a^2 + \frac{\pi}{2} - a - 2\pi^2 = 0 \]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[ a^2 - a - 2\pi^2 + \frac{\pi}{2} = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \( a \). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас есть \( a = 1 \), \( b = -1 \), и \( c = -2\pi^2 + \frac{\pi}{2} \).

Подставим значения:

\[ a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2\pi^2 + \frac{\pi}{2})}}{2(1)} \]

Упростим выражение под корнем:

\[ a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8\pi^2 - \pi}}{2} \]

Таким образом, получаем два возможных значения для \( a \):

\[ a_1 = \frac{1 + \sqrt{8\pi^2 - \pi}}{2} \]

\[ a_2 = \frac{1 - \sqrt{8\pi^2 - \pi}}{2} \]

Теперь, зная значения \( a_1 \) и \( a_2 \), мы можем найти значения \( x \), используя определения \( \arctan(x) \) и \( \text{arccot}(x) \).

\[ x_1 = \tan\left(\frac{1 + \sqrt{8\pi^2 - \pi}}{2}\right) \]

\[ x_2 = \tan\left(\frac{1 - \sqrt{8\pi^2 - \pi}}{2}\right) \]

Таким образом, \( x_1 \) и \( x_2 \) будут решениями уравнения \( \arctan^2(x) + \text{arccot}(x) - 2\pi^2 = 0 \).