Question

Исследовать на линейную зависимость систему векторов:1,tan х,cot x на (0;π\2)

Answer 1

Ответ:

Система линейно независима

Объяснение:

Пусть $c_1\cdot 1+c_2\cdot\tan{x}+c_3\cdot\cot{x}\equiv 0$, где $c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$. Если существует некоторая тройка чисел c₁, c₂, c₃, одновременно не равных нулю, а выражение выше при этом равно нулю при всех x из данного промежутка, то при этих же c₁, c₂, c₃ выражение будет равно нулю для каких-то конкретных x. Возьмём $x=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}$. Тогда получим систему:

$\begin{cases}c_1+c_2+c_3=0,\\c_1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}c_2+\sqrt{3}c_3=0,\\c_1+\sqrt{3}c_2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}c_3=0\end{cases}$

Это однородная система уравнений, она всегда имеет решение c₁ = c₂ = c₃ = 0. Этой системе уравнений соответствует основная матрица $A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\1&\sqrt{3}&\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right)$. Если её ранг (а соответственно, и ранг расширенной матрицы, который для однородной системы уравнений равен рангу основной матрицы) окажется меньше трёх, то система будет иметь более одного решения, а значит, система векторов может быть линейно зависимой.

$\det{A}=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\1&\sqrt{3}&\dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right|=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-(\sqrt{3})^2-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\\=\dfrac{-8+4\sqrt{3}}{3}\neq 0\Rightarrow Rg\ A=3$

Следовательно, решение системы единственно (c₁ = c₂ = c₃ = 0), не существует тройки c₁, c₂, c₃, где числа одновременно не равны нулю, а при разных значениях x выражение было бы равно нулю. Система векторов линейно независима.

Answer 2

Для исследования линейной зависимости системы векторов {1, tan(x), cot(x)} на интервале (0, π/2), давайте рассмотрим, когда эти векторы линейно зависимы.

Система векторов линейно зависима, если существуют не все равные нулю коэффициенты a, b, c (не все нулевые), такие, что:

a * 1 + b * tan(x) + c * cot(x) = 0.

Прежде всего, обратим внимание, что cot(x) = 1/tan(x). Теперь давайте преобразим уравнение:

a + b * tan(x) + c/tan(x) = 0.

Умножим уравнение на tan(x), чтобы избавиться от знаменателя:

a * tan(x) + b * tan^2(x) + c = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно tan(x). Обратите внимание, что tan(x) ≠ 0, так как x принадлежит интервалу (0, π/2), где tan(x) не равен нулю.

Решение квадратного уравнения имеет вид:

tan(x) = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a).

Если существуют такие коэффициенты a, b, c, что это уравнение имеет решение для всех x из интервала (0, π/2), то система векторов линейно зависима.

Таким образом, необходимо проанализировать коэффициенты a, b, c и проверить, когда это уравнение имеет решение для всех x из интервала (0, π/2).