Question

Постройте график функции f(x)=x^2+6x+8. Используя график, найдите: 1)область значений функции 2)промежуток возрастания и промежуток убывания функции 3)множество решений неравенства: а)f(x) > 0; б)f(x) ≤ 0; 4)наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а)[-4;0] б) [1;3]

Answer 1

Ответ:

область определения:(−∞,∞)

область значения:[−1,∞)

Answer 2

Для построения графика функции f(x) = x^2 + 6x + 8 можно использовать методы анализа отрезков и вершин параболы. Начнем с поиска вершины параболы:

f(x) = x^2 + 6x + 8

Для поиска вершины параболы воспользуемся формулой x = -b/2a:

x = -6 / (2*1) = -3

Подставим x = -3 обратно в уравнение, чтобы найти значение функции:

f(-3) = (-3)^2 + 6*(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1

Таким образом, в вершине параболы f(x) = x^2 + 6x + 8 значение функции равно -1.

Теперь, когда у нас есть вершина параболы, можем построить график функции f(x) = x^2 + 6x + 8.

Для этого построим координатную плоскость и отметим вершину параболы (-3, -1). Затем проведем параболу, которая будет открываться вверх:

     |
     |       -1
     |
----0-+----------> x
     |

Теперь давайте найдем ответы на заданные вопросы:

1) Область значений функции. Поскольку парабола открывается вверх, то минимальное значение функции f(x) равно значению в вершине параболы, то есть -1. Область значений функции состоит из всех значений, больших или равных -1.

2) Промежуток возрастания и промежуток убывания функции. Так как парабола открывается вверх и вершина находится в точке (-3, -1), функция возрастает на всем интервале (-∞, -3) и убывает на интервале (-3, +∞).

3) Множество решений неравенства: а) f(x) > 0. Рассмотрим график параболы и найдем интервалы, где график находится выше оси x. Видно, что это интервалы (-∞, -3) и (+∞, +∞). То есть, решением неравенства f(x) > 0 является множество всех значений x, принадлежащих интервалам (-∞, -3) и (+∞, +∞).

б) f(x) ≤ 0. Рассмотрим график параболы и найдем интервалы, где график находится ниже или равен оси x. Видно, что это интервал (-3, +∞). То есть, решением неравенства f(x) ≤ 0 является множество всех значений x, принадлежащих интервалу (-3, +∞).

4) Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-4, 0]. Для определения наибольшего и наименьшего значения функции на данном промежутке можно подставить его концы в функцию и выбрать наибольшее и наименьшее значение. Подставим значения -4 и 0:

f(-4) = (-4)^2 + 6*(-4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0 f(0) = 0^2 + 6*0 + 8 = 8

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [-4, 0] равно 8, а наименьшее значение равно 0.

б) [1, 3]. Подставим значения 1 и 3:

f(1) = (1)^2 + 6*(1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15 f(3) = (3)^2 + 6*(3) + 8 = 9 + 18 + 8 = 35

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [1, 3] равно 35, а наименьшее значение равно 15.

Чтобы найти более точное значение наибольшего и наименьшего, необходимо использовать метод дифференцирования.