Question

A)Известно что число kz1-z2 где k € r является чисто мнимым найдите k если: A)Z1=1-2j,z2=3+j Б) известно что число z1+kz2 где k € r является действительным, найдите k если: z1=1-2j,z2=3+j

Answer 1

А)

$z_1=1-2j;\ z_2=3+j$

Составим число $kz_1-z_2$:

$kz_1-z_2=k(1-2j)-(3+j)=k-2kj-3-j=(k-3)-(2k+1)j$

Так как это число является чисто мнимым, то его действительная часть равна 0, то есть:

$k-3=0$

$k=3$

Ответ: 3

Б)

$z_1=1-2j;\ z_2=3+j$

Составим число $z_1+kz_2$:

$z_1+kz_2=(1-2j)+k(3+j)=1-2j+3k+kj=(1+3k)+(k-2)j$

Так как это число является действительным, то его мнимая часть равна 0, то есть:

$k-2=0$

$k=2$

Ответ: 2

Answer 2

Давайте решим оба уравнения.

A) Известно, что число \(kz_1 - z_2\), где \(k \in \mathbb{R}\), является чисто мнимым. Найдем \(k\) для \(z_1 = 1 - 2j\) и \(z_2 = 3 + j\).

Пусть \(kz_1 - z_2 = bi\), где \(b\) - это какое-то действительное число.

Тогда: \[ k(1 - 2j) - (3 + j) = bi \] \[ k - 2kj - 3 - j = bi \] \[ (k - 3) + (-2k - 1)j = bi \]

Так как это чисто мнимое число, то вещественная часть равна нулю, т.е. \(k - 3 = 0\) и \(-2k - 1 = 0\).

Решая систему уравнений, получаем \(k = 3\) и подставляем в уравнение, чтобы убедиться, что это удовлетворяет условиям.

B) Известно, что число \(z_1 + kz_2\), где \(k \in \mathbb{R}\), является действительным. Найдем \(k\) для \(z_1 = 1 - 2j\) и \(z_2 = 3 + j\).

Пусть \(z_1 + kz_2 = a\), где \(a\) - это какое-то действительное число.

Тогда: \[ (1 - 2j) + k(3 + j) = a \] \[ 1 - 2j + 3k + kj = a \] \[ (1 + 3k) + (-2 + k)j = a \]

Так как это действительное число, то мнимая часть равна нулю, т.е. \(-2 + k = 0\).

Решая уравнение, получаем \(k = 2\) и подставляем в уравнение, чтобы убедиться, что это удовлетворяет условиям.

Таким образом, \(k = 3\) для первого случая и \(k = 2\) для второго случая.