Question

Пожалуйста срочно! Доведіть, що вираз 3х⁴(6-8х)-6х³(3х-4х²+х³) набуває недодатних значень при всіх значеннях x.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\3x^{4} (6-8x)-6x^{3}(3x-4x^{2} +x^{3} )=18x^{4} -24x^{5}-18x^{4} +24x^{5} -6x^{6} =\\\\\\=\underbrace{(18x^{4} -18x^{4} )}_{0}-\underbrace{(24x^{5}-24x^{5}) } _{0}-6x^{6} =-6x^{6}$

6x⁶ > 0 при всех значениях x , а  - 6x⁶ < 0 при всех значениях x .

Answer 2

Давайте розглянемо вираз і доведемо, що він набуває недодатних значень при всіх значеннях \( x \):

\[ 3x^4(6 - 8x) - 6x^3(3x - 4x^2 + x^3) \]

1. Розгортання дужок: Розгорнемо дужки в обох доданках:

\[ 3x^4(6 - 8x) = 18x^4 - 24x^5 \] \[ 6x^3(3x - 4x^2 + x^3) = 18x^4 - 24x^5 + 6x^6 \]

2. Поєднання подібних членів: Тепер візьмемо величину \( 3x^4(6 - 8x) - 6x^3(3x - 4x^2 + x^3) \) та поєднаємо подібні члени:

\[ (18x^4 - 24x^5) - (18x^4 - 24x^5 + 6x^6) = -6x^6 \]

3. Доведення негативності: Таким чином, вираз можна спростити до \(-6x^6\). Цей вираз завжди буде негативним, оскільки множник \(6\) від'ємний, а ступінь \(x\) у шостому ступені також від'ємний. Тобто, для всіх значень \(x\), вираз \( -6x^6 \) буде негативним числом.

Отже, вираз \( 3x^4(6 - 8x) - 6x^3(3x - 4x^2 + x^3) \) набуває негативних значень при всіх значеннях \(x\).