Question

Доведіть що вираз x^2-6x+11 набуває лише додатніх значень при всіх значеннях змінної x Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні x

Answer 1

Продифференцируем выражение, получим 2х-6⇒х=3 это точка минимума
если х>3 функция возрастает, при x<3 функция убывает

Answer 2

Щоб довести, що вираз \(x^2-6x+11\) набуває лише додатніх значень при всіх значеннях змінної \(x\), ми можемо скористатися фактом, що квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) набуває додатних значень при всіх значеннях \(x\) тоді й тільки тоді, коли дискримінант \(D=b^2-4ac\) менше нуля.

У нашому випадку, \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), тому дискримінант буде: \[D=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8.\]

Оскільки дискримінант від'ємний, то це означає, що вираз \(x^2-6x+11\) набуває лише додатніх значень при всіх значеннях змінної \(x\).

Щоб знайти найменше значення цього виразу, ми можемо скористатися формулою для вершини параболи \(x=-\frac{b}{2a}\). В нашому випадку, \(a=1\), \(b=-6\), тому: \[x=-\frac{-6}{2(1)}=3.\]

Таким чином, цей вираз набуває найменшого значення 2 при значенні \(x=3\).