Question

Вычисли, при каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2−2mx+4m2+3m=0 будет наибольшей. Ответ: сумма квадратов корней уравнения x2−2mx+4m2+3m=0 будет наибольшей при m=

Answer 1

x²-2mx+4m²+3m=0

по т.Виета для корней квадратного уравнения х1 и х2:

x1+x2=2m

x1•x2=4m²+3m

найдем выражение для суммы квадратов корней уравнения:

x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1•x2=

=(2m)²-2(4m²+3m)= - 4m²- 6m=

= -((2m)²+2•2m•1,5+1,5²)+1,5²=

= - (2m+1,5)²+2,25

так как (2m+1,5)²≥0, то[ - (2m+1,5)²] ≤0,

и сумма квадратов корней нашего уравнения будет наибольшей

при условии равенства(2m+1,5)² =0, то есть при 2m+1,5=0 или при m= -¾ = - 0,75

ответ : при m = - 0,75

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом полного квадрата для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2m\), и \(c = 4m^2 + 3m\).

1. Запишем уравнение в виде полного квадрата: \[x^2 - 2mx + 4m^2 + 3m = 0\] \[(x - m)^2 + 3m = 0\]

2. Перепишем уравнение в виде \(y^2 + 3m = 0\), где \(y = x - m\).

3. Для того чтобы сумма квадратов корней была наибольшей, значение \(y\) должно быть равно 0, так как это минимум квадратичной функции \(y^2\).

4. Следовательно, \(x - m = 0\), откуда \(x = m\).

Таким образом, сумма квадратов корней будет наибольшей, когда корни совпадают, то есть при \(m\), равном корню уравнения \(x^2 - 2mx + 4m^2 + 3m = 0\).

Итак, ответ: сумма квадратов корней будет наибольшей при \(m = \frac{1}{2}\).