Question

ДАЮ 57 БАЛЛОВ ЗА ХОРОШЕЕ ОБЪЯСНЕНИЕ! y= 2х^2-5x – 3 найдите область значений функции. Мне нужен четкий ответ для чайников и объяснение. Самое главное -объяснение. Цитируйте, копируйте, ссылайтесь, мне все равно, главное, чтобы я поняла. Сделаю ответ лучшим.

Answer 1

Объяснение:

надеюсь помогла,если что я писала в столпчик так как не знаю как ви пишите!

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с вашим вопросом. У вас есть квадратное уравнение вида:

\[ y = 2x^2 - 5x - 3. \]

Чтобы найти область значений функции, нужно определить, какие значения \( y \) может принимать функция при различных значениях \( x \). Область значений - это множество всех возможных значений функции.

Сначала рассмотрим дискриминант квадратного уравнения. Дискриминант \( \Delta \) вычисляется по формуле:

\[ \Delta = b^2 - 4ac, \]

где в уравнении \( ax^2 + bx + c \) коэффициенты \( a, b, c \) равны соответственно 2, -5 и -3.

\[ \Delta = (-5)^2 - 4(2)(-3) \] \[ \Delta = 25 + 24 \] \[ \Delta = 49 \]

Дискриминант положителен (\( \Delta > 0 \)), что означает, что уравнение имеет два различных корня. Следовательно, график функции будет представлять собой параболу, направленную вверх, и функция принимает все значения \( y \) на интервале между её двумя корнями.

Теперь найдем корни уравнения. Решение квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} \]

\[ x = \frac{5 \pm 7}{4} \]

Таким образом, корни уравнения \( x \) равны \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -\frac{1}{2} \).

Итак, область значений функции - это все значения \( y \), которые она принимает. Поскольку парабола направлена вверх, наименьшее значение функции будет в её вершине. Мы можем найти вершину параболы, используя формулу:

\[ x_{\text{вершины}} = \frac{-b}{2a} \]

\[ x_{\text{вершины}} = \frac{-(-5)}{2(2)} = \frac{5}{4} \]

Теперь, подставив \( x_{\text{вершины}} \) в уравнение функции, найдем соответствующее значение \( y \):

\[ y_{\text{вершины}} = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) - 3 \]

\[ y_{\text{вершины}} = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} - 3 \]

\[ y_{\text{вершины}} = -\frac{23}{4} \]

Таким образом, минимальное значение функции \( y \) равно \( -\frac{23}{4} \), и она принимает все значения \( y \) в интервале от \( -\frac{23}{4} \) до плюс бесконечности.

Итак, область значений функции: \( y \in \left[-\frac{23}{4}, +\infty\right) \).