Question

Решить систему уравнений {х^2-у^2=11 {ху=30 полностью.

Answer 1

Ответ:

(х1;у1) = (5 ; 6)

(х2;у2)= (-5 ; -6)

${x}^{2} - {y}^{2} = 11 \\ xy = 30 \\ x = \frac{30}{y} \\ \\ \frac{ {30}^{2} }{ {y}^{2} } - {y}^{2} = 11 \\ 900 - {y}^{4} = 11 {y}^{2} \\ y {}^{2} = a \\ 900 - {a}^{2} = 11a \\ a {}^{2} + 11a - 900 = 0 \\ a1 = - 36 \: \: ne \: vozmozhno\\ a2 = 25$

$a = 25 \\ {y}^{2} = a \\ y1 = 5 \\ y2 = - 5 \\ x1 = \frac{30}{5} = 6 \\ x2 = - \frac{30}{5} = - 6$

Ответом будет: (х1;у1) = (5 ; 6)

(х2;у2)= (-5 ; -6)

Будут вопросы, пишите в комментарии.

Answer 2

Конечно, я помогу с решением этой системы уравнений.

У нас есть система уравнений:

1) \(x^2 - y^2 = 11\) 2) \(xy = 30\)

Давайте решим её пошагово.

Шаг 1: Для начала, попробуем выразить одну переменную через другую из уравнения \(xy = 30\).

Можно представить, что \(x\) можно выразить через \(y\) или наоборот. Для удобства выразим \(x\) через \(y\):

\(x = \frac{30}{y}\)

Шаг 2: Подставим это значение \(x\) в первое уравнение \(x^2 - y^2 = 11\):

\(\left(\frac{30}{y}\right)^2 - y^2 = 11\)

Это даст нам уравнение только с одной переменной (\(y\)).

\(\frac{900}{y^2} - y^2 = 11\)

Умножим обе стороны уравнения на \(y^2\) для избавления от знаменателя:

\(900 - y^4 = 11y^2\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(y\):

\(y^4 + 11y^2 - 900 = 0\)

Шаг 3: Представим \(y^2\) как новую переменную, например, \(z = y^2\):

Тогда уравнение примет вид:

\(z^2 + 11z - 900 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(z\), используя квадратное уравнение или методы факторизации/дискриминанта.

\[z^2 + 11z - 900 = 0\] \[(z + 36)(z - 25) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(z\):

\(z = -36\) или \(z = 25\)

Шаг 4: Подставляем \(z\) обратно как \(y^2\):

Для \(z = -36\): \[y^2 = -36\]

Это решение не имеет смысла, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Для \(z = 25\): \[y^2 = 25\]

Отсюда получаем два варианта для \(y\):

\(y = 5\) или \(y = -5\)

Шаг 5: Найдем соответствующие значения для \(x\) используя \(x = \frac{30}{y}\):

Если \(y = 5\): \[x = \frac{30}{5} = 6\]

Если \(y = -5\): \[x = \frac{30}{-5} = -6\]

Таким образом, у нас есть две пары решений для \(x\) и \(y\):

1) \(x = 6, y = 5\) 2) \(x = -6, y = -5\)

Эти значения удовлетворяют обеим исходным уравнениям системы:

1) \(x^2 - y^2 = 11\) 2) \(xy = 30\)

Таким образом, решениями системы уравнений являются пары чисел \(x = 6, y = 5\) и \(x = -6, y = -5\).