Question

Вычислите, используя формулы суммы/разности углов: 1) sin105o=___________________________________________________________; 2) cos15o=____________________________________________________________; 3) cos15o · sin15o=

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 1)\ \ sin105^\circ =sin(60^\circ +45^\circ )=sin60^\circ \cdot cos45^\circ +cos60^\circ \cdot sin45^\circ =\\\\=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

$\displaystyle 2)\ \ cos15^\circ =cos(45^\circ -30^\circ )=cos45^\circ \cdot cos30^\circ +sin45^\circ \cdot sin30^\circ =\\\\=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt2\cdot (\sqrt3+1)}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$

$\star \ \ \ sin105^\circ =sin(90^\circ +15^\circ )=cos15^\circ \ \ \star \\\\\\3)\ \ cos15^\circ \cdot sin15^\circ =\dfrac{1}{2}\cdot sin30^\circ =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$

Answer 2

Да, конечно! Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди, используя формулы суммы/разности углов для синуса и косинуса.

1) \( \sin(105^\circ) \):

Используем формулу синуса для суммы углов: \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]

В данном случае, разложим \(105^\circ\) на сумму двух углов, например, \(90^\circ + 15^\circ\): \[ \sin(105^\circ) = \sin(90^\circ + 15^\circ) \] \[ = \sin 90^\circ \cos 15^\circ + \cos 90^\circ \sin 15^\circ \]

Учитывая, что \(\sin 90^\circ = 1\) и \(\cos 90^\circ = 0\), упрощаем: \[ = 1 \cdot \cos 15^\circ + 0 \cdot \sin 15^\circ \] \[ = \cos 15^\circ \]

Таким образом, \(\sin(105^\circ) = \cos 15^\circ\).

2) \( \cos(15^\circ) \):

Это значение нам уже известно, так как оно совпадает с ответом на первый вопрос: \[ \cos(15^\circ) = \cos 15^\circ \]

3) \( \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) \):

Мы можем использовать формулу для произведения синуса и косинуса угла: \[ \cos(A) \cdot \sin(A) = \frac{1}{2} \cdot \sin(2A) \]

Применяем формулу к \(15^\circ\): \[ \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \sin(30^\circ) \]

Значение \(\sin(30^\circ)\) известно и равно \(0.5\), поэтому: \[ \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 0.5 = 0.25 \]

Таким образом, ответы на ваши вопросы: 1) \( \sin(105^\circ) = \cos 15^\circ \) 2) \( \cos(15^\circ) \) 3) \( \cos(15^\circ) \cdot \sin(15^\circ) = 0.25 \)