Question

Sin²3x+sin²4x+sin²6x+sin²7x=2срочно помогите​

Answer 1

$\sf sin^2(3x)+sin^2(4x)+sin^2(6x)+sin^2(7x)=2$

Применим формулу половинного угла для синуса:

$\sf \displaystyle \frac{1-cos(6x)}{2}+\frac{1-cos(8x)}{2}+\frac{1-cos(12x)}{2}+\frac{1-cos(14x)}{2}=2 \\ \\ cos(8x)+cos(12x)=-(cos(6x)+cos(14x))$

Применим формулу для суммы косинусов:

$\displaystyle \sf 2cos(10x)cos(2x)=-2(cos(10x)cos(4x)) \\ cos(10x)(cos(2x)+cos(4x))=0 \\ cos(10x)=0 \ \ \Rightarrow \ \ x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi k}{10}, \ k\in \mathbb Z \\ cos(2x)+cos(4x)=0 \ \ \Rightarrow \ \ cos(3x)cos(x)=0 \ \ \Rightarrow \ \ \left[ \begin{gathered} \sf x= \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k }{3}\\ \sf x= \frac{\pi}{2}+\pi k \\ \end{gathered}, \ k \in \mathbb Z\right$

Ответ:

 $\left[ \begin{gathered} \sf x= \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k }{3}\\ \sf x= \frac{\pi}{2}+\pi k \\ \sf x= \frac{\pi}{20}+\frac{\pi k }{10} \end{gathered}, \ \sf k \in \mathbb Z\right$

Answer 2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и привести его к более простому виду.

Распишем каждый из членов:

sin²3x + sin²4x + sin²6x + sin²7x

Используя тригонометрическое тождество sin²θ = (1 - cos2θ) / 2, получаем:

(1 - cos6x) / 2 + (1 - cos8x) / 2 + (1 - cos12x) / 2 + (1 - cos14x) / 2

Объединяем дроби и упрощаем выражение:

4/2 - (cos6x + cos8x + cos12x + cos14x) / 2

Упрощаем ещё:

2 - (cos6x + cos8x + cos12x + cos14x) / 2

Теперь уравнение принимает вид:

2 - (cos6x + cos8x + cos12x + cos14x) / 2 = 2

Домножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

4 - (cos6x + cos8x + cos12x + cos14x) = 4

Переносим 4 на другую сторону:

-(cos6x + cos8x + cos12x + cos14x) = 0

Меняем знак у обеих частей, чтобы избавиться от отрицательного знака:

cos6x + cos8x + cos12x + cos14x = 0

Таким образом, мы получаем окончательное уравнение:

cos6x + cos8x + cos12x + cos14x = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя различные методы, такие как графическое решение, итерационные методы, аппроксимации, численные методы или специальные тригонометрические формулы. Подходящий метод зависит от конкретной задачи и доступных инструментов.