Question

Розвяжіть нерівність x^2-4x+2>0​

Answer 1

${x}^{2} - 4x + 2 > 0; \\ D = {b}^{2} - 4ac = 16 - 8 = 8; \\ \underline{x1} = \frac{4 + \sqrt{8} }{2} = 2 + \sqrt{2} ; \: \: \: \underline{x2} = \frac{4 - \sqrt{8} }{2} = 2 - \sqrt{2} ; \\ \bigg(x - \bigg( 2 + \sqrt{2} \bigg) \bigg) \bigg(x - \bigg(2 - \sqrt{2} \bigg) \bigg) > 0 ;\\ \\ - - - \bigg( 2 - \sqrt{2} \bigg) - - - -\bigg( 2 + \sqrt{2} \bigg) - - - > \\ \\ znaki : \: \: \: + \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: + \\ \boxed{\huge \: otvet : x \in \: \bigg( - \infty ;\ \bigg( 2 - \sqrt{2} \bigg) \bigg) \cup \bigg( \: \bigg ( 2 + \sqrt{2} \bigg); + \infty \bigg)}.$

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність \(x^2 - 4x + 2 > 0\), спочатку знайдемо корені квадратного рівняння \(x^2 - 4x + 2 = 0\), оскільки точки, в яких нерівність стає рівністю, розбивають число \(x\) на інтервали.

Квадратне рівняння має вигляд \(ax^2 + bx + c = 0\), де в нашому випадку \(a = 1\), \(b = -4\), і \(c = 2\).

Використаємо квадратне рівняння для знаходження коренів:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У нашому випадку:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \]

\[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{2} \]

Отже, ми маємо два корені квадратного рівняння: \(x_1 = 2 + \sqrt{2}\) і \(x_2 = 2 - \sqrt{2}\).

Тепер розглянемо, як нерівність \(x^2 - 4x + 2 > 0\) поводиться на інтервалах, утворених цими коренями.

Позначимо ці інтервали за допомогою коренів: \((-\infty, 2 - \sqrt{2})\), \((2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})\), і \((2 + \sqrt{2}, +\infty)\).

Виберемо тестові точки у кожному інтервалі, наприклад, \(x = 0\), \(x = 2\), і \(x = 4\), і підставимо їх у вихідне нерівняння для визначення знаку:

1. Для інтервалу \((-\infty, 2 - \sqrt{2})\): \[ (0^2 - 4 \cdot 0 + 2) > 0 \]

2. Для інтервалу \((2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})\): \[ (2^2 - 4 \cdot 2 + 2) > 0 \]

3. Для інтервалу \((2 + \sqrt{2}, +\infty)\): \[ (4^2 - 4 \cdot 4 + 2) > 0 \]

Розв'язок нерівності буде у тих інтервалах, де вираз \(x^2 - 4x + 2\) має значення більше нуля.

Після перевірки, ми отримаємо, що нерівність \(x^2 - 4x + 2 > 0\) виконується для інтервалів \((2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})\).

Отже, розв'язок нерівності: \[ x \in (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \]