Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1 , y=x+1

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} + 1 = x + 1 \\ \\ {x}^{2} + 1 - x - 1 = 0 \\ \\ {x}^{2} - x = 0 \\ \\ x(x -1) = 0 \\ \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 1$

Это точки пересечения, которые будут пределами интеграла

$\int _{0} ^{1} (x + 1 ) - ( {x}^{2} + 1) dx= \int _{0}^{1} x - {x}^{2} dx = (\frac{ {x}^{2} }{2} - \frac{ {x}^{3} }{3}) | _{0}^{1} = ( \frac{1}{2} - \frac{1}{ 3} ) - ( \frac{0}{2} - \frac{0}{3} ) = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = x + 1, нужно найти точки пересечения этих двух графиков и вычислить интеграл от разности этих функций между этими точками.

Для начала, найдем точки пересечения. Приравняем две функции:

x^2 + 1 = x + 1

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь вычислим интеграл от разности этих функций между этими точками:

∫[0,1] (x + 1 - (x^2 + 1)) dx

Раскроем скобки:

∫[0,1] (x + 1 - x^2 - 1) dx

Упростим:

∫[0,1] (-x^2 + x) dx

Теперь проинтегрируем:

∫[0,1] (-x^2 + x) dx = [-x^3/3 + x^2/2] [0,1]

Подставим пределы интегрирования:

[-(1^3)/3 + (1^2)/2] - [-(0^3)/3 + (0^2)/2]

[-1/3 + 1/2] - [0/3 + 0/2]

[-1/3 + 1/2] - [0]

Вычисляем:

[-1/3 + 1/2] = [-2/6 + 3/6] = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = x + 1, равна 1/6.

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = x + 1, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл между этими точками.

Первым шагом является нахождение точек пересечения двух графиков. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 + 1 = x + 1

x^2 - x = 0

x(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить определенный интеграл между этими точками. Так как график y = x^2 + 1 находится выше графика y = x + 1 на интервале [0, 1], то площадь фигуры равна разности площадей под кривыми.

Интеграл для нахождения площади фигуры будет выглядеть следующим образом:

S = ∫[0,1] (x^2 + 1 - (x + 1)) dx

S = ∫[0,1] (x^2 - x) dx

S = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 |[0,1]

S = (1/3)(1)^3 - (1/2)(1)^2 - (1/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2

S = 1/3 - 1/2

S = -1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = x + 1, равна -1/6.