Question

1) Определи наибольшее целое значение, при котором неравенство имеет решение: 2х^2 + 15x - 87<- 5x^2-34х + 39 2) Определите при каком значении k решением неравенства является любое число:-2x^2+26x+k<0​

Answer 1

На фото ᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠᅠ

Answer 2

Давай разберём эти неравенства по очереди!

1) \(2x^2 + 15x - 87 < -5x^2 - 34x + 39\)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \(Ax^2 + Bx + C < 0\):

\[7x^2 + 49x - 126 < 0\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых это неравенство будет истинным. Для этого можем использовать метод интервалов или график.

1. Метод интервалов:

Сначала найдём корни уравнения \(7x^2 + 49x - 126 = 0\), используя, например, квадратное уравнение:

\[x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\]

Получим:

\[x = \frac{-49 \pm \sqrt{49^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-126)}}{2 \cdot 7}\]

\[x = \frac{-49 \pm \sqrt{2401 + 3528}}{14}\]

\[x = \frac{-49 \pm \sqrt{5929}}{14}\]

\[x = \frac{-49 \pm 77}{14}\]

Таким образом, корни уравнения \(7x^2 + 49x - 126 = 0\) равны \(x = -10\) и \(x = \frac{9}{7}\).

Теперь определим знаки этого квадратного уравнения в каждом из интервалов, которые образованы корнями (-бесконечность, -10), (-10, 9/7), (9/7, +бесконечность).

Проверим значение функции \(7x^2 + 49x - 126\) в каждом из этих интервалов.

Выберем число из каждого интервала и подставим его в уравнение \(7x^2 + 49x - 126\):

- Для интервала (-бесконечность, -10): Подставим x = -11 (любое число из этого интервала) \(7(-11)^2 + 49(-11) - 126 = 847 - 539 - 126 = 182 > 0\) - Для интервала (-10, 9/7): Подставим x = 0 (любое число из этого интервала) \(7(0)^2 + 49(0) - 126 = -126 < 0\) - Для интервала (9/7, +бесконечность): Подставим x = 2 (любое число из этого интервала) \(7(2)^2 + 49(2) - 126 = 196 + 98 - 126 = 168 > 0\)

Таким образом, неравенство \(7x^2 + 49x - 126 < 0\) выполняется для интервала \(-10 < x < \frac{9}{7}\).

2) \(-2x^2 + 26x + k < 0\)

Это неравенство представляет собой квадратное уравнение вида \(Ax^2 + Bx + C < 0\).

Нам нужно найти значение \(k\), при котором это неравенство будет истинным для любого значения \(x\). Для этого коэффициент \(A\) (при \(x^2\)) должен быть отрицательным, чтобы парабола была "вверх дном".

Таким образом, для выполнения неравенства для любого \(x\) коэффициент \(A\) определяет, что \(A < 0\).

Так как у нас \(-2x^2 + 26x + k < 0\), то коэффициент \(A = -2\) и должен быть меньше нуля.

Таким образом, чтобы неравенство было выполнено для любого \(x\), коэффициент \(A\) должен быть меньше нуля: \(-2 < 0\). Это уже выполнено. Нам необходимо определить, при каких значениях \(k\) это неравенство будет выполняться.

Если квадратное уравнение \(Ax^2 + Bx + C\) не имеет корней (или если его дискриминант \(D = B^2 - 4AC\) отрицателен), то оно будет всегда положительным или отрицательным в зависимости от знака коэффициента \(A\).

Таким образом, в нашем случае, чтобы неравенство \(-2x^2 + 26x + k < 0\) было выполнено для любого \(x\), коэффициент при \(x^2\) (\(A\)) уже удовлетворяет условию (\(A < 0\)). Значит, \(k\) может быть любым числом, и неравенство будет выполняться для всех \(x\).