Question

Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными пере- становками цифр 1, ..., 7. Дам 10 балов

Answer 1

перестановок из 6 цифр 6! = 720

если цифру поставить на какое-либо место (например первой) то чисел таких будет 720.

значит сумму всех таких перестановок можно записать следующим образом:

(1+2+3+4+5+6+7)*720*10⁶ + (1+2+3+4+5+6+7)*720*10⁵ + ... + (1+2+3+4+5+6+7)*720*10 + (1+2+3+4+5+6+7)*720 =

= 28*720 * 1111111 = 20160*11111111 - ответ

думаю, что можно оставить в таком виде и не перемножать

Ответ: 20160*1111111

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Мы хотим найти сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр от 1 до 7.

Семизначное число можно представить как \(ABCDEF7\), где \(A, B, C, D, E, F\) - это различные цифры от 1 до 6. Теперь у нас есть 7 позиций, и мы можем разместить на них 7 различных цифр. Поэтому общее количество возможных перестановок равно \(7!\) (7 факториалов).

\[7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040.\]

Таким образом, у нас есть 5040 различных семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр от 1 до 7.

Теперь найдем сумму этих чисел. Для каждой позиции в числе (ABCDEF7) каждая цифра от 1 до 6 появляется равное количество раз. Поэтому сумма для каждой позиции будет равна сумме цифр умноженной на количество раз, которое она появляется на данной позиции. Так как у нас есть 5040 чисел, то общая сумма будет равна:

\[S = 5040 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \times 1111111.\]

Вычислим эту сумму:

\[S = 5040 \times 21 \times 1111111.\]

Полученное число будет суммой всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр от 1 до 7.

\[S = 5040 \times 21 \times 1111111 = 11881120880.\]

Таким образом, сумма всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр от 1 до 7, равна 11 881 120 880.