Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x-2)²(x+9)+6 на отрезке[-1;7]

Answer 1

Ответ:

6.

Объяснение:

y=(x-2)²(x+9)+6 = (х²-4х+4)(х+9) + 6 =

= х³+9х²-4х²-36х+4х+36+6 = х³+5х²-32х+42.

1. у' = 3х²+10х-32

2. у' = 0,

3х²+10х-32 = 0

D = 100 + 384 = 484

x1 = (-10+22)/6 = 2;

x2 = (-10-22)/6 = - 5 1/3 не входит в рассматриваемый отрезок [-1;7].

3. у(-1) = (-1-2)²•(-1+9)+6 = 9•8+6 = 78;

у(2) = (2-2)²(x+9)+6 = 6 - наименьшее значение функции на указанном отрезке;

у(7) = (7-2)²(7+9)+6 = 25•16+6 = 406 - наибольшее значение функции на указанном отрезке

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции необходимо найти точку экстремума на заданном отрезке [-1;7].

Для этого найдем производную функции y по переменной x: y' = 2(x-2)(x+9) + 2(x-2) = 2(x-2)[(x+9) + 1] = 2(x-2)(x+10)

Чтобы найти точку экстремума, приравняем производную к нулю: 2(x-2)(x+10) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x1 = 2 и x2 = -10.

Проверим эти значения на заданном отрезке [-1;7]: y1 = (2-2)²(2+9) + 6 = 6 y2 = (-10-2)²(-10+9) + 6 = 726

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [-1;7] равно 6.