Question

Розкладіть на множники: 1)a^8-b^8 2)a^16-256 3)x^8-z^20

Answer 1

(a-b)⁸

(a²-2)⁸

(x²-z⁵)⁴

Answer 2

Давайте разложим каждое выражение на множители:

1) \(a^8 - b^8\)

Мы можем использовать формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Применяя эту формулу три раза, получим:

\[ \begin{align*} a^8 - b^8 &= (a^4 + b^4)(a^4 - b^4) \\ &= (a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) \\ &= (a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b). \end{align*} \]

Таким образом, \(a^8 - b^8\) разлагается на множители как \((a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)\).

2) \(a^{16} - 256\)

Здесь мы можем использовать разность квадратов и разность четвертых степеней:

\[ \begin{align*} a^{16} - 256 &= a^{16} - 16^2 \\ &= (a^8 + 16)(a^8 - 16) \\ &= (a^8 + 16)(a^4 + 4)(a^4 - 4) \\ &= (a^8 + 16)(a^4 + 4)(a^2 + 2)(a^2 - 2) \\ &= (a^8 + 16)(a^4 + 4)(a^2 + 2)(a + 2)(a - 2). \end{align*} \]

Таким образом, \(a^{16} - 256\) разлагается на множители как \((a^8 + 16)(a^4 + 4)(a^2 + 2)(a + 2)(a - 2)\).

3) \(x^8 - z^{20}\)

В этом случае у нас есть разность восьмой и двадцатой степени. Мы можем воспользоваться формулой разности степеней:

\[ \begin{align*} x^8 - z^{20} &= (x^4 + z^{10})(x^4 - z^{10}) \\ &= (x^4 + z^{10})(x^2 + z^5)(x^2 - z^5) \\ &= (x^4 + z^{10})(x^2 + z^5)(x + z^2)(x - z^2). \end{align*} \]

Таким образом, \(x^8 - z^{20}\) разлагается на множители как \((x^4 + z^{10})(x^2 + z^5)(x + z^2)(x - z^2)\).