Question

(sin2x + sinx) -2cosx 1 , если x ∈ [0; π]

Answer 1

Ответ:

$\sqrt2(sin2x+sinx)-2cosx\leq 1\ \ ,\ \ \ x\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]\\\\\sqrt2\cdot 2sinx\cdot cosx+\sqrt2sinx-2cosx-1\leq 0\\\\\sqrt2sinx\cdot (2cosx+1)-(2cosx+1)\leq 0\\\\(2cosx+1)(\sqrt2sinx-1)\leq 0\\\\a)\ \ \left\{\begin{array}{l}2cosx+1\leq 0\\\sqrt2sinx-1\geq 0\end{array}\right\ \ \ ili\ \ \ b)\ \ \left\{\begin{array}{l}2cosx+1\geq 0\\\sqrt2sinx-1\leq 0\end{array}\right$

$a)\ \left\{\begin{array}{l}cosx\leq -\dfrac{1}{2}\\sinx\geq \dfrac{1}{\sqrt2}\end{array}\right\ \ \ \ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\leq x\leq \dfrac{4\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\leq x\leq \dfrac{3\pi }{4}+2\pi k\ ,\ k\in Z\end{array}\right\\\\\\\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\leq x\leq \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\ ,\ \ n\in Z$

$b)\ \left\{\begin{array}{l}cosx\geq -\dfrac{1}{2}\\sinx\leq \dfrac{1}{\sqrt2}\end{array}\right\ \ \ \ \left\{\begin{array}{l}-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\leq x\leq \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k\leq x\leq \dfrac{\pi }{4}+2\pi k\ ,\ k\in Z\end{array}\right\\\\\\-\dfrac{2\pi }{3} \leq x\leq \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\ ,\ n\in Z$

$c)\ \ x\in \Big[-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\ \Big]\cup \Big[\ \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ;\ \dfrac{3\pi }{4}+2\pi n\ \Big]\ \ ,\ n\in Z\ -\ otvet\\\\\\d)\ \ x\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]:\ \ x\in \Big[\ 0\ ;\, \dfrac{\pi}{4}\ \Big]\cup \Big[\ \dfrac{2\pi }{3}\ ;\ \dfrac{3\pi }{4}\ \Big]$

Answer 2

Давайте посчитаем значение выражения

(sin(2x) + sin(x)) - 2cos(x) + 1,

где x находится в интервале [0, π].

Вычисление sin(2x)

Сначала посмотрим на выражение sin(2x). Используя тригонометрическую формулу sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем переписать исходное выражение:

(2sin(x)cos(x) + sin(x)) - 2cos(x) + 1.

Упрощение выражения

Теперь мы можем объединить все слагаемые, содержащие sin(x), и все слагаемые, содержащие cos(x), чтобы упростить выражение:

2sin(x)cos(x) + sin(x) - 2cos(x) + 1.

Факторизация

Мы можем применить факторизацию, чтобы дальше упростить выражение:

sin(x)(2cos(x) + 1) - (2cos(x) - 1).

Упрощение дальше

Теперь мы можем упростить выражение еще больше, выделив общий множитель:

(sin(x) - 1)(2cos(x) + 1).

Рассмотрение интервала x ∈ [0, π]

Так как задан интервал x ∈ [0, π], мы можем рассмотреть значения sin(x) и cos(x) в этом интервале.

- При x = 0, sin(x) = 0 и cos(x) = 1. - При x = π/2, sin(x) = 1 и cos(x) = 0. - При x = π, sin(x) = 0 и cos(x) = -1.

Подставление значений

Подставим значения sin(x) и cos(x) в выражение:

- При x = 0, выражение принимает значение (0 - 1)(2(1) + 1) = -3. - При x = π/2, выражение принимает значение (1 - 1)(2(0) + 1) = 0. - При x = π, выражение принимает значение (0 - 1)(2(-1) + 1) = -3.

Вывод

Таким образом, значение выражения (sin(2x) + sin(x)) - 2cos(x) + 1, где x ∈ [0, π], будет равно:

- -3 при x = 0 и x = π. - 0 при x = π/2.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.