Question

Найдите наибольшее целое значение неравенства Log1/3(x^2+3x+4) >= log1/3(9-x)

Answer 1

$\displaystyle log_{1/3}(x^2+3x+4)\geq log_{1/3}(9-x)\\\\ODZ: \left \{ {{9-x>0} \atop {x^2+3x+4>0}} \right.; \left \{ {{x$

решаем методом интервалов

$\displaystyle x^2+4x-5=0\\\\x_1=1; x_2=-5$

__+___ -5__-___1__+__9

ответ x∈[-5;1]

Наибольшее целое решение х=1

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и привести его к более простому виду.

Исходное неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x + 4) \geq \log_{\frac{1}{3}}(9 - x) \]

Первым шагом можем применить свойство логарифмов, согласно которому, если \(\log_a(b) \geq \log_a(c)\), то \(b \geq c\). Применим это свойство к нашему неравенству:

\[ x^2 + 3x + 4 \geq 9 - x \]

Теперь приведем все члены к одной стороне и получим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 4x - 5 \geq 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения:

\[ (x - 1)(x + 5) \geq 0 \]

Корни уравнения: \(x = 1\) и \(x = -5\). Теперь определим знак выражения \((x - 1)(x + 5)\) в каждом из трех интервалов, образованных корнями:

1. \((- \infty, -5)\): оба множителя отрицательны, произведение положительно. 2. \((-5, 1)\): первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. 3. \((1, +\infty)\): оба множителя положительны, произведение положительно.

Таким образом, неравенство \(x^2 + 4x - 5 \geq 0\) выполняется при \(x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)\).

Однако, мы должны также учесть исходное условие логарифмов. В логарифмах нельзя брать логарифм от отрицательного числа или нуля, поэтому нужно убедиться, что выражение под логарифмом положительно:

\[ x^2 + 3x + 4 > 0 \]

Это квадратное уравнение имеет положительный дискриминант (\(b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7\)), что означает, что у него нет вещественных корней. Значит, это уравнение всегда положительно для любых значений \(x\).

Таким образом, окончательный ответ: неравенство \( \log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x + 4) \geq \log_{\frac{1}{3}}(9 - x) \) выполняется для всех \(x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)\).