Question

Докажите что при любом целом p значению выражения делится на а. p (в Кубе) - p, a=6​

Answer 1

Ответ:

1)пусть частное от деления a+7b на 17 будет равен s, тогда 

a=17s-7b 

10a+2b=170s-70b+2b=170s-68b=34(5s-2b) делится на 34 без остатка. 

2)m^3 – 43m ???

3)m^3-3m^2+2m=m(m-1)(m-2) - последовательность из трех последовательных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, и по крайней мере один делится на 2. Т. о. значение выражения будет делиться на 6. 

Попробуй этот 

В первом случае добавим и отнимем 68в=(10 а+70в) -68в=10(а+7в) -68в. 

Первая скобка делится на 34 их условия задачи, а 68в делится, т. к 68 кратно 34 

Во втором примере максимум могу привести к виду =m(m+7)(m-7)+6m 

Но вот хм.. не очевидно что произведение трех скобок делится на 6. 

на 2 одна из них очевидно, а вот еще на 3? 

ПОПРОБУЙ ЭТОТ 

Задача 1. 

Пусть а+7*b=17*p, тогда а=17*р-7*b 

10*(17*p-7*b)+2*b=170*p-68*b=34*(5*p-2*b) - 

делится на 34. 

Задача 2. 

m^3-43*m - делится на 2. 

(Если m - нечётное, то нечётное минус нечётное = чётное, 

если m чётное, то чётное минус чётное = чётное) 

Осталось доказать, что m^3-43*m - делится на 3. 

Пусть m=3*p+a 

(3*p)^3+3*(3*p^2)*a+3*3*p*a^2+a^3-43*3*m-43*a 

Осталось доказать, что a^3-43*a делится на 3 

Перебираем возможные случаи: a=0, 1, 2 

0 - делится на 3 

1-43 = -42 - делится на 3 

8 - 86 = -78 - делится на 3. 

Таким образом всё выражение делится на 2*3=6 

Вариант б) . Совершенно анологично. 

Нужно даказать, что a^3+2*a делится на 3 

0 - делится на 3 

1+2=3 - делится на 3 

8+4 = 12 - делится на 3 

Таким образом, всё выражение делится на 2*3=6

Answer 2

Для доказательства, что при любом целом значении переменной p выражение p^3 - p делится на a=6, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:

Для p = 0, выражение p^3 - p принимает значение 0, и оно делится на 6 без остатка.

Предположение индукции:

Пусть для некоторого целого числа k выражение k^3 - k делится на 6.

Шаг индукции:

Рассмотрим выражение (k+1)^3 - (k+1). Раскрывая скобки, получаем: (k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k

Мы знаем, что k^3 - k делится на 6 по предположению индукции. Также заметим, что 3k^2 + 2k является произведением двух чисел, одно из которых является кратным 3, а другое - кратным 2. Таким образом, 3k^2 + 2k также делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что если выражение k^3 - k делится на 6, то выражение (k+1)^3 - (k+1) также делится на 6. Следовательно, выражение p^3 - p делится на 6 для любого целого значения переменной p.

Важно отметить, что данное доказательство основано на математической индукции и не требует использования внешних источников.