Question

Срочно, помогите пожалуйста!! Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию y=x^2 ln x Распишите пожалуйста ​​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\, lnx\ \ ,\ \ \ \ \ ODZ:\ x>0\ ,\\\\y'=2x\cdot lnx+x^2\cdot \dfrac{1}{x}=x\cdot (2\, lnx+1)=0\ \ \to \ \ \ x_1=0\ ,\\\\lnx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ (0)---(\dfrac{1}{\sqrt{e}})+++\\{}\qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \searrow \ \ \qquad \quad \ \ \nearrow \\\\x_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \ \ ,\ \ \ y_{min}=-\dfrac{1}{2e}$

$y(x)\ ybuvaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big(\ 0;\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \Big]\\\\y(x)\ vozrastaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big[\, \dfrac{1}{\sqrt{e}}\ ;\ +\infty \, \Big)$

Answer 2

Для исследования на возрастание (убывание) и нахождения экстремумов функции y = x^2 + ln(x), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования для суммы и произведения функций: y' = (x^2)' + (ln(x))' = 2x + (1/x) = 2x + 1/x

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение: 2x + 1/x = 0

Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя: 2x^2 + 1 = 0

Перенесем 1 на другую сторону уравнения: 2x^2 = -1

Разделим обе части уравнения на 2: x^2 = -1/2

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет действительных корней. Значит, у функции нет точек, в которых производная равна нулю или не существует.

3. Изучим знак производной в интервалах между найденными точками и за пределами этих точек. Для этого выберем произвольные значения x в каждом интервале и подставим их в производную. Затем определим знак производной в каждом интервале.

a) При x < 0: выберем x = -1. Подставим его в производную: y' = 2(-1) + 1/(-1) = -2 - 1 = -3 Знак производной отрицательный: y' < 0

b) При 0 < x < ∞: выберем x = 1. Подставим его в производную: y' = 2(1) + 1/(1) = 2 + 1 = 3 Знак производной положительный: y' > 0

4. Определим, как меняется функция на основе знаков производной:

a) При x < 0 функция убывает (y' < 0). b) При 0 < x < ∞ функция возрастает (y' > 0).

5. Найдем точки экстремума. Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, а производная не имеет нулевых значений, то у функции нет точек экстремума.

Таким образом, функция y = x^2 + ln(x) убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, ∞). У нее нет точек экстремума.