Question

Срочно!! Алгебра. 20баллов Исследуйте функцию на возрастание и убывание и экстремумы функцию y=x^2 ln x​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\, lnx\ \ ,\ \ \ \ \ ODZ:\ x>0\ ,\\\\y'=2x\cdot lnx+x^2\cdot \dfrac{1}{x}=x\cdot (2\, lnx+1)=0\ \ \to \ \ \ x_1=0\ ,\\\\lnx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ (0)---(\dfrac{1}{\sqrt{e}})+++\\{}\qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \searrow \ \ \qquad \quad \ \ \nearrow \\\\x_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \ \ ,\ \ \ y_{min}=-\dfrac{1}{2e}$

$y(x)\ ybuvaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big(\ 0;\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \Big]\\\\y(x)\ vozrastaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big[\, \dfrac{1}{\sqrt{e}}\ ;\ +\infty \, \Big)$      

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \(y = x^2 \ln(x)\) и исследуем её на возрастание, убывание и наличие экстремумов.

1. Найти область определения: Функция определена для положительных значений \(x\), так как логарифм отрицателен или не определен для \(x \leq 0\) (и неопределен при \(x = 0\)).

Таким образом, область определения функции: \(x > 0\).

2. Найти первую производную: \[y' = 2x\ln(x) + x.\frac{1}{x} = 2x\ln(x) + 1.\]

3. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует): \[2x\ln(x) + 1 = 0.\]

Решим уравнение: \[2x\ln(x) = -1.\]

Это уравнение не имеет аналитического решения, но мы можем использовать численные методы или график для нахождения приближенных значений.

4. Найти вторую производную: \[y'' = 2\ln(x) + \frac{2}{x}.\]

5. Исследовать знак второй производной в критических точках: \[2\ln(x) + \frac{2}{x}.\]

- При \(0 < x < 1\) вторая производная положительна. - При \(x > 1\) вторая производная отрицательна.

Таким образом, у функции есть локальный минимум при \(x > 1\).

6. Исследовать знак первой производной в интервалах между критическими точками и на концах области определения: - При \(0 < x < \text{критическая точка}\) первая производная положительна. - При \(\text{критическая точка} < x < 1\) первая производная отрицательна. - При \(1 < x < +\infty\) первая производная положительна.

7. Итоги: - Функция возрастает на интервалах \(0 < x < \text{критическая точка}\) и \(1 < x < +\infty\). - Функция убывает на интервале \(\text{критическая точка} < x < 1\). - Есть локальный минимум при \(x > 1\).

Таким образом, исследование функции \(y = x^2 \ln(x)\) на возрастание, убывание и экстремумы завершено.