Question

Срочно, алгебра 20 баллов, распишите пожалуйста. Исследуйте на возрастание(убывание) и экстремумы функцию y=x^2 ln x​

Answer 1

Ответ:

$y=x^2\, lnx\ \ ,\ \ \ \ \ ODZ:\ x>0\ ,\\\\y'=2x\cdot lnx+x^2\cdot \dfrac{1}{x}=x\cdot (2\, lnx+1)=0\ \ \to \ \ \ x_1=0\ ,\\\\lnx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=e^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ (0)---(\dfrac{1}{\sqrt{e}})+++\\{}\qquad \qquad \ \ \qquad \qquad \searrow \ \ \qquad \quad \ \ \nearrow \\\\x_{min}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \ \ ,\ \ \ y_{min}=-\dfrac{1}{2e}$

$y(x)\ ybuvaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big(\ 0;\dfrac{1}{\sqrt{e}}\ \Big]\\\\y(x)\ vozrastaet\ ,\ esli\ \ x\in \Big[\, \dfrac{1}{\sqrt{e}}\ ;\ +\infty \, \Big)$

Answer 2

Для исследования функции \( y = x^2 \ln x \) на возрастание, убывание и нахождение экстремумов, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производные: - Найдем первую производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x) \]

- Применим правило произведения и правило дифференцирования логарифма: \[ y' = 2x \ln x + \frac{x}{x} = 2x \ln x + 1 \]

- Теперь найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(2x \ln x + 1) \]

- Снова применим правила дифференцирования: \[ y'' = 2 \ln x + 2 \]

2. Найдем точки, где производная равна нулю или не существует: Решим уравнение \( 2x \ln x + 1 = 0 \) для нахождения критических точек.

\[ 2x \ln x + 1 = 0 \] \[ 2x \ln x = -1 \] \[ \ln x = -\frac{1}{2x} \]

Решение этого уравнения довольно сложно выразить в явной форме, но мы можем использовать численные методы для нахождения приблизительных значений.

3. Исследуем знак второй производной: - Если \( y'' > 0 \), то функция выпукла вверх, что означает, что график функции имеет локальный минимум. - Если \( y'' < 0 \), то функция выпукла вниз, что означает, что график функции имеет локальный максимум.

4. Определим экстремумы и интервалы возрастания/убывания: - Если \( y' > 0 \) на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале. - Если \( y' < 0 \) на некотором интервале, то функция убывает на этом интервале. - Точки, где \( y' = 0 \) или не существует, могут быть экстремумами.

5. Определим пределы: - Определите, как ведет себя функция на бесконечности (\( x \to \infty \) и \( x \to 0+ \)).

Итак, выполните эти шаги, чтобы полностью исследовать функцию \( y = x^2 \ln x \) на возрастание, убывание и экстремумы.