Question

Помогите решить хоть что-нибудь Часть 11. Определение дробно-рациональной степени числа. Приведите пример. Свойства степеней. Приведите примеры для каждого представленного свойства. 2. Определение логарифма. Приведите пример. Что такое десятичный логарифм? Свойства логарифмов. Приведите примеры на каждое свойство. 3. Какие уравнения называются показательными? Правило решения показательного уравнения. Приведите пример. ​

Answer 1

Ответ:

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

\[r = \frac{m}{n},\]

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

2) При a=0 и r>0

\[{0^r} = 0.\]

В частности,

\[{a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

\[\sqrt[n]{{{a^m}}} = {(\sqrt[n]{a})^m}\]

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

\[1){81^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{81}} = 3;\]

\[2){128^{\frac{5}{7}}} = \sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(\sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;\]

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

\[3){625^{0,75}} = {625^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(\sqrt[4]{{625}})^3} = \]

\[ = {5^3} = 125;\]

\[4){243^{0,4}} = {243^{\frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {\left( {\sqrt[5]{{243}}} \right)^2} = \]

\[ = {3^2} = 9.\]

2). Логарифм числа - это показатель степени, то есть, в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма. Например, log28 в какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8 это log28=3.

Логарифм по снованию 2

Читается, как логарифм 8 по основанию 2 равен 3.

3). Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина находится в показателе степени.

a^{x}=b} — простейшее показательное уравнение. В данном уравнении a, b — известные постоянные величины, а x — неизвестная величина .

Answer 2

Определение дробно-рациональной степени числа

Дробно-рациональная степень числа определяется как степень, в которой показатель является дробью или рациональным числом. Для вычисления дробно-рациональной степени числа, можно использовать следующее свойство степеней:

Свойство степеней: Чтобы возвести число в дробно-рациональную степень, можно возвести его в числитель степени, а затем извлечь корень из результата, возведенного в знаменатель степени.

Пример: Пусть нам нужно вычислить 8^(2/3). Согласно свойству степеней, мы можем сначала возвести 8 в степень 2, а затем извлечь кубический корень из результата. Таким образом: 8^(2/3) = (8^2)^(1/3) = 64^(1/3) = 4.

Определение логарифма

Логарифм - это обратная операция возведения числа в степень. Логарифм числа по определению является показателем, в которую нужно возвести определенное число (основание логарифма), чтобы получить данное число.

Пример: Пусть нам нужно найти логарифм числа 100 по основанию 10. Обозначим это как log10(100). Логарифм 100 по основанию 10 равен 2, потому что 10^2 = 100.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм - это логарифм числа по основанию 10. Обозначается как log10(x) или просто log(x).

Свойства логарифмов: 1. Свойство логарифма от произведения: log(ab) = log(a) + log(b). Пример: log(10*100) = log(10) + log(100) = 1 + 2 = 3. 2. Свойство логарифма от деления: log(a/b) = log(a) - log(b). Пример: log(100/10) = log(100) - log(10) = 2 - 1 = 1. 3. Свойство логарифма от возведения в степень: log(a^b) = b * log(a). Пример: log(10^2) = 2 * log(10) = 2 * 1 = 2.

Показательные уравнения

Показательные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное число находится в показателе. Обычно они имеют вид a^x = b, где a и b - известные числа, а x - неизвестное число.

Правило решения показательного уравнения: Для решения показательного уравнения a^x = b, где a и b - известные числа, можно применить следующий шаги: 1. Взять логарифм от обеих частей уравнения по любому удобному основанию (обычно используется натуральный логарифм или десятичный логарифм). 2. Применить свойства логарифмов для упрощения уравнения. 3. Решить полученное логарифмическое уравнение для неизвестной переменной.

Пример: Решим уравнение 2^x = 8. 1. Возьмем логарифм от обеих частей уравнения по основанию 2: log2(2^x) = log2(8). 2. Применим свойство логарифма от возведения в степень: x * log2(2) = log2(8). 3. Упростим уравнение: x = log2(8) = 3.