Question

СРОЧНО Исследуйте на чётность функцию: F(x)=cosx/1-ctg^2x

Answer 1

$f(x) = \frac{\cos(x)}{1 - ctg^2(x)}$

$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{1 - ctg^2(-x)} = \frac{\cos(x)}{1 - (-ctg(x))^2} =$

$= \frac{\cos(x)}{1 - ctg^2(x)} = f(x)$

Функция четная.

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( F(x) = \frac{\cos x}{1 - \cot^2 x} \). Для исследования на четность функции, давайте воспользуемся определениями:

1. Четность функции: - Если \( F(x) = F(-x) \) для всех \( x \) из области определения функции, то функция является четной. - Если \( F(x) = -F(-x) \) для всех \( x \) из области определения функции, то функция является нечетной.

2. Нахождение области определения: - В знаменателе у нас есть \(\cot^2 x\), что означает деление на квадрат котангенса. Котангенс определен для всех значений \( x \), кроме тех, где \(\cot x = 0\), то есть \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число. Таким образом, областью определения функции является множество всех значений \( x \), кроме \(x = k\pi\).

3. Раскрытие выражения: - Для упрощения функции, раскроем котангенс и заменим его на \(\frac{\cos x}{\sin x}\): \( F(x) = \frac{\cos x}{1 - \cot^2 x} = \frac{\cos x}{1 - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} = \frac{\cos x \sin^2 x}{\sin^2 x - \cos^2 x} \).

4. Исследование на четность: - Заметим, что \( F(-x) = \frac{\cos(-x) \sin^2(-x)}{\sin^2(-x) - \cos^2(-x)} \). - Вспомним, что \(\cos(-x) = \cos x\) и \(\sin(-x) = -\sin x\). - Таким образом, \( F(-x) = \frac{\cos x (-\sin^2 x)}{(-\sin^2 x) - \cos^2 x} \). - Упростим: \( F(-x) = \frac{-\cos x \sin^2 x}{\sin^2 x - \cos^2 x} \). - Мы видим, что \( F(x) = -F(-x) \), что соответствует условиям нечетности.

Таким образом, функция \( F(x) = \frac{\cos x}{1 - \cot^2 x} \) является нечетной функцией.