Question

Найдите неопределенные интегралы ∫ tgx (ln cosx) dx

Answer 1

Ответ:

решение на фото..........))))))))

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на формуле: ∫ u dv = uv - ∫ v du, где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Разделим наш интеграл на два множителя: ∫ tgx (ln cosx) dx = ∫ u dv, где u = ln cosx, dv = tgx dx.

Теперь найдем du и v.

Дифференцируем u: du = (1/cosx) * (-sinx) dx = -tgx dx.

Интегрируем dv: v = ∫ tgx dx = -ln |cosx|.

Теперь подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫ tgx (ln cosx) dx = u * v - ∫ v * du = ln cosx * (-ln |cosx|) - ∫ (-ln |cosx|) * (-tgx) dx.

Упростим полученное выражение: ln cosx * (-ln |cosx|) - ∫ (-ln |cosx|) * (-tgx) dx = -ln cosx * ln |cosx| + ∫ ln |cosx| * tgx dx.

Теперь мы получили новый интеграл ∫ ln |cosx| * tgx dx, который снова можно решить методом интегрирования по частям.

Повторим все шаги, заменив u = ln |cosx| и dv = tgx dx.

Дифференцируем u: du = (1/|cosx|) * (-sinx) dx = -tgx dx.

Интегрируем dv: v = ∫ tgx dx = -ln |cosx|.

Подставляем найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫ ln |cosx| * tgx dx = u * v - ∫ v * du = ln |cosx| * (-ln |cosx|) - ∫ (-ln |cosx|) * (-tgx) dx.

Упростим полученное выражение: ln |cosx| * (-ln |cosx|) - ∫ (-ln |cosx|) * (-tgx) dx = -ln |cosx| * ln |cosx| + ∫ ln |cosx| * tgx dx.

Таким образом, мы получили тождественное уравнение, что означает, что наш исходный интеграл равен -ln cosx * ln |cosx| + ∫ ln |cosx| * tgx dx.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ tgx (ln cosx) dx равен -ln cosx * ln |cosx| + ∫ ln |cosx| * tgx dx.