Question

Найдите интервал монотонности функций : f(x)=3x-x²

Answer 1

Ответ:

Найдем промежутки монотонности функции f (x) = (x^2 - 3 * x)/(x - 4).

Определим, где функция возрастает, а где убывает функция.

Приравняем функцию к 0 и найдем корни уравнения.

(x^2 - 3 * x)/(x - 4) = 0;

{ x^2 - 3 * x = 0;

x - 4 ≠ 0;

{ x * (x - 3) = 0;

x - 4 ≠ 0;

{ x = 0;

x - 3 = 0;

x - 4 ≠ 0;

{ x = 0;

x = 3;

x ≠ 4;

Получаем:

- + - + ;

_ 0 _ 3 _ 4 _ ;

Отсюда видим, что функция убывает на промежутке (-∞; 0) и (3; 4).

Функция возрастает на промежутке(0; 3) и (4; +∞).

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности функции \( f(x) = 3x - x^2 \), нужно проанализировать производные функции и определить знаки этих производных на различных интервалах.

1. Найдем производную первого порядка: \[ f'(x) = 3 - 2x \]

2. Найдем точки, где \( f'(x) = 0 \), чтобы определить критические точки: \[ 3 - 2x = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \]

Таким образом, критическая точка \( x = \frac{3}{2} \).

3. Теперь рассмотрим интервалы между критическими точками (если они существуют) и концами области определения функции.

4. Подставим произвольные значения x в \( f'(x) \) на интервалах между критическими точками и на концах области определения, чтобы определить знак производной на этих интервалах.

Проверим знаки производной для интервалов: - \( (-\infty, \frac{3}{2}) \) - \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)

Подставим \( x = 0 \) в \( f'(x) \): \[ f'(0) = 3 \] На интервале \( (-\infty, \frac{3}{2}) \), производная положительна.

Подставим \( x = 2 \) в \( f'(x) \): \[ f'(2) = -1 \] На интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \), производная отрицательна.

Теперь мы можем сделать выводы:

- На интервале \( (-\infty, \frac{3}{2}) \) функция возрастает. - В точке \( x = \frac{3}{2} \) функция имеет локальный максимум. - На интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \) функция убывает.

Таким образом, интервалы монотонности функции \( f(x) = 3x - x^2 \) следующие: - Убывает на интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \) - Возрастает на интервале \( (-\infty, \frac{3}{2}) \)

Это основано на анализе знаков производной первого порядка.