Question

В некотором трёхзначном числе поменяли местами две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырёхзначное число, начинающееся на 195. Какой могла быть последняя цифра исходного числа?

Answer 1

Ответ:
1950+x=100y+10z+c+100y+10c+z. Все переменные меняются от 0 до 9 и целые (у только от 1)

1950+x=200y+11z+11c

Очевидно  у=9 иначе справабудет число меньше, чем слева.

Тогда 150+х=11z+11c

Слева число должно делиться на 11, значит х=4

14 = z+c

z=5 c=9

z=6   c=8

z=7   c=7

z=8    c=6

z=9     c=5

----------------------------

Итак, возможные числа 959,995,968,986, 977

Проверим:  995+959=1954   968+986=1954   977+977=1954

-------------------------
Объяснение:
Последние цифры исходного числа могут быть 5,6,7,8,9

Answer 2

Пусть исходное трёхзначное число записывается в виде XYZ, где X, Y и Z - цифры числа. Если поменять местами две последние цифры, получим число XZY.

Согласно условию, сумма исходного числа XYZ и числа XZY равна четырёхзначному числу, начинающемуся на 195. Запишем это в виде уравнения:

XYZ + XZY = 195A, где A - некоторая цифра.

Разложим это уравнение на суммы:

(100X + 10Y + Z) + (100X + 10Z + Y) = 195A

Упростим:

200X + 11Y + 11Z = 195A

Теперь рассмотрим возможные значения цифр X, Y и Z.

Для того чтобы левая часть была кратна 11, сумма X + Y + Z должна быть кратна 11.

Единственные комбинации трёх цифр, сумма которых кратна 11, - это (2, 4, 5) и (3, 3, 5).

1. Пусть X = 2, Y = 4, Z = 5: 2002 + 114 + 11*5 = 430 195A = 430 + 430 = 860 860 не является четырёхзначным числом, начинающимся на 195.

2. Пусть X = 3, Y = 3, Z = 5: 2003 + 113 + 11*5 = 560 195A = 560 + 560 = 1120 1120 не является четырёхзначным числом, начинающимся на 195.

Таким образом, невозможно найти такое трёхзначное число, у которого последняя цифра после перестановки совпадает с условием.