Question

1. Определите, является ли функция F первообразной для функции f на множестве R: F(x)=2x^4 + cos^2 x-3, f(x)=8x^3 + sin2x-3x.

Answer 1

Ответ:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если  

$F'(x)=f(x)$  .

Проверим это свойство.

$F(x)=2x^4+cos^2x-3\ \ ,\ \ \ f(x)=8x^3+sin2x-3x\\\\F'(x)=(2x^4+cos^2x-3)'=2\cdot 4x^3+2\cdot cosx\cdot (cosx)'-3'=\\\\{}\ \ \ \ =8x^3-\underbrace{2\cdot cosx\cdot sinx}_{sin2x}-0=8x^3-sin2x\ne f(x)$

Получили, что   $F'(x)\ne f(x)$  , значит  F(x) не является первообразной для заданной функции  f(x) .

Answer 2

Для определения, является ли функция F(x) первообразной для функции f(x) на множестве R, мы должны сравнить производную F(x) с функцией f(x). Если производная F(x) равна функции f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

Давайте найдем производные функций F(x) и f(x) и сравним их.

Функция F(x): F(x) = 2x^4 + cos^2(x) - 3

Чтобы найти производную F'(x) функции F(x), мы возьмем производные каждого слагаемого по отдельности.

Производная слагаемого 2x^4 равна: d/dx (2x^4) = 8x^3

Производная слагаемого cos^2(x) равна: d/dx (cos^2(x)) = -2sin(x)cos(x)

Производная слагаемого -3 равна: d/dx (-3) = 0

Теперь сложим все полученные производные: F'(x) = 8x^3 - 2sin(x)cos(x)

Функция f(x): f(x) = 8x^3 + sin(2x) - 3x

Теперь сравним производную F'(x) с функцией f(x). Если F'(x) равна f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

F'(x) = 8x^3 - 2sin(x)cos(x) f(x) = 8x^3 + sin(2x) - 3x

Мы видим, что производная F'(x) не равна функции f(x), поскольку у них разные слагаемые. Следовательно, функция F(x) не является первообразной для функции f(x) на множестве R.

Вывод: Функция F(x) = 2x^4 + cos^2(x) - 3 не является первообразной для функции f(x) = 8x^3 + sin(2x) - 3x на множестве R.