Question

Розв'яжіть рівняння |1 + x²| - 4 = 6

Answer 1

Объяснение:

$|1+x^2|-4=6\\|1+x^2|=6+4\\|1+x^2|=10.$

Раскрываем модуль - получаем совокупность уравнений:

$\left \{ {{1+x^2=-10} \atop {1+x^2=10}} \right. \left \{ {{x^2=-11} \atop {x^2=9}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x\in\varnothing.} \atop {x_1=-3\ \ \ \ x_2=3.}} \right.$

Ответ: x₁=-3,  x₂=3.

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння |1 + x²| - 4 = 6, спочатку розглянемо дві можливі ситуації: коли вираз в модулі є додатнім і коли він є від'ємним.

Вираз в модулі є додатнім:

Якщо 1 + x² більше за 0, тобто 1 + x² > 0, то модуль виразу |1 + x²| буде просто дорівнювати йому, тобто |1 + x²| = 1 + x². Тоді рівняння можна записати так:

1 + x² - 4 = 6

Потім перенесемо -4 наліво:

1 + x² = 10

І накінець, віднімемо 1 від обох боків:

x² = 9

Тепер виразимо x, взявши квадратний корінь з обох боків:

x = ±3

Таким чином, ми отримали два розв'язки для виразу, який є додатнім: x = 3 та x = -3.

Вираз в модулі є від'ємним:

Якщо 1 + x² менше за 0, тобто 1 + x² < 0, то модуль виразу |1 + x²| буде дорівнювати його протилежному значенню, тобто |1 + x²| = -(1 + x²). Тоді рівняння можна записати так:

-(1 + x²) - 4 = 6

Потім розкриємо дужки:

-1 - x² - 4 = 6

Тоді перенесемо -1 та -4 наліво:

-x² - 5 = 6

І накінець, помножимо обидва боки на -1, щоб змінити знак:

x² + 5 = -6

Тепер віднімемо 5 від обох боків:

x² = -11

Це рівняння не має розв'язків у множині дійсних чисел, оскільки квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід'ємним числом.

Отже, для рівняння |1 + x²| - 4 = 6 маємо два розв'язки: x = 3 та x = -3.