Question

СРОЧНО Даю 25 баллов. Найдите область определения функции y=корень из (lg^2(x)+5lgx+6)

Answer 1

$\left \{ {{x>0} \atop {lg^2x+5lgx+6 \geq 0}} \right.$

$lg^2x+5lgx+6=0$

D=25-24=1

lgx=-2;  lgx=-3

$lg^2x+5lgx+6=(lgx+2)(lgx+3)$

$\left \{ {{x>0} \atop {(lgx+2)(lgx+3 )\geq >0}} \right.$

$\left \{ {{x>0} \atop {(lgx\leq -3}} \right.$   или   $\left \{ {{x>0} \atop {(gx\geq -2}} \right.$

$\left \{ {{x>0} \atop {(x\leq 10^{-3}}} \right.$   или   $\left \{ {{x>0} \atop {x\geq 10^{-2}}} \right.$

О т в е т. (0; 0,001]U[0,01;+∞)

Answer 2

Для определения области определения функции y = корень из (lg^2(x) + 5lg(x) + 6), мы должны рассмотреть ограничения, которые возникают при решении уравнения под корнем и при использовании логарифма.

Ограничения для логарифма

Выражение внутри логарифма (lg^2(x) + 5lg(x) + 6) должно быть положительным, так как логарифм определен только для положительных значений. Для того чтобы решить это уравнение, мы можем рассмотреть его в виде квадратного уравнения относительно переменной lg(x).

Пусть u = lg(x). Тогда уравнение примет вид u^2 + 5u + 6 > 0. Мы можем решить это квадратное уравнение и определить интервалы, на которых оно положительно.

Решая это квадратное уравнение, мы находим два значения u: -2 и -3. Таким образом, у нас есть два интервала, на которых уравнение положительно: (-∞, -3) и (-2, +∞).

Ограничения для корня

Теперь мы должны рассмотреть ограничения для корня из этого выражения. Чтобы корень был определен, выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Объединяя эти два интервала, мы получаем область значений для переменной u: (-∞, -3) и (-2, +∞).

Теперь мы можем перейти от переменной u обратно к исходной переменной x, используя определение u = lg(x).

Окончательная область определения функции

Таким образом, область определения функции y = корень из (lg^2(x) + 5lg(x) + 6) будет состоять из всех положительных значений x, которые соответствуют интервалам (-∞, 10^(-3)) и (10^(-2), +∞).

Пожалуйста, обратите внимание, что в этом случае используется десятичный логарифм (lg), а не естественный логарифм (ln). Область определения может отличаться, если использовать другой вид логарифма.