Question

Вычислите производные функций в точке x0= - 1 . a) y = 2x ^ 5 + x ^ 4 - x + 4 ; б) y = (x ^ 4 + x ^ 2)(x ^ 3 + x ^ 2) ; в) y = 5x - 1/6x + 3(дробь)​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\1)\\\\y=2x^{5} +x^{4} -x+4\\\\y'=2(x^{5} )'+(x^{4} )'-x'+4'=2\cdot 5x^{4} +4x^{3} -1+0=10x^{4} +4x^{3} -1\\\\y'(-1)=10\cdot(-1)^{4}+4\cdot(-1)^{3}-1=10-4-1=5\\\\\boxed{y'(-1)=5}\\\\\\2)\\\\y=(x^{4} +x^{2} )(x^{3} +x^{2} )\\\\y'=(x^{4}+x^{2} )'\cdot(x^{3} +x^{2} )+(x^{4} +x^{2} )\cdot(x^{3} +x^{2} )'=\\\\=(4x^{3} +2x)\cdot(x^{3} +x^{2} )+(x^{4} +x^{2} )\cdot(3x^{2} +2x)=\\\\=4x^{6} +4x^{5} +2x^{4} +2x^{3} +3x^{6}+2x^{5} +3x^{4} +2x^{3} =$

$\displaystyle\bf\\=7x^{6} +6x^{5} +5x^{4} +4x^{3} \\\\y'(-1)=7\cdot(-1)^{6} +6\cdot(-1)^{5} +5\cdot(-1)^{4}+4\cdot(-1)^{3} =7-6+5-4=2\\\\\boxed{y'(-1)=2}\\\\\\3)\\\\y=\frac{5x-1}{6x+3} \\\\\\y'=\frac{(5x-1)'\cdot(6x+3)-(5x-1)\cdot(6x+3)'}{(6x+3)^{2} } =\frac{5\cdot(6x+3)-6\cdot(5x-1)}{(6x+3)^{2} } \\\\\\=\frac{30x+15-30x+6}{(6x+3)^{2} } =\frac{21}{(6x+3)} \\\\\\y'(-1)=\frac{21}{[6\cdot(-1)+3]^{2} } =\frac{21}{(-3)^{2} } =\frac{21}{9} =2\frac{1}{3} \\\\\\\boxed{y'(-1)=2\frac{1}{3} }$

Answer 2

a) Вычисление производной функции y = 2x^5 + x^4 - x + 4 в точке x0 = -1:

Для вычисления производной функции в заданной точке, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции и правило суммы производных.

1. Дифференцирование степенной функции: Для функции y = ax^n, где a и n - константы, производная будет равна произведению n и a, умноженному на x, возведенному в степень n-1.

2. Правило суммы производных: Для функции y = f(x) + g(x), производная будет равна сумме производных f'(x) и g'(x).

Используя эти правила, давайте вычислим производную функции y = 2x^5 + x^4 - x + 4 в точке x0 = -1:

Шаг 1: Вычисление производной каждого слагаемого функции: - Первое слагаемое: y1 = 2x^5. Производная первого слагаемого равна y1' = 10x^4. - Второе слагаемое: y2 = x^4. Производная второго слагаемого равна y2' = 4x^3. - Третье слагаемое: y3 = -x. Производная третьего слагаемого равна y3' = -1. - Четвертое слагаемое: y4 = 4. Производная четвертого слагаемого равна y4' = 0 (константа).

Шаг 2: Сложение производных каждого слагаемого: y' = y1' + y2' + y3' + y4' = 10x^4 + 4x^3 - 1 + 0 = 10x^4 + 4x^3 - 1

Шаг 3: Подстановка значения x0 = -1 в выражение производной: y'(-1) = 10(-1)^4 + 4(-1)^3 - 1 = 10(1) + 4(-1) - 1 = 10 - 4 - 1 = 5

Таким образом, производная функции y = 2x^5 + x^4 - x + 4 в точке x0 = -1 равна 5.

б) Вычисление производной функции y = (x^4 + x^2)(x^3 + x^2) в точке x0 = -1:

Для вычисления производной функции в заданной точке, мы будем использовать правило произведения производных и правило суммы производных.

1. Правило произведения производных: Для функции y = f(x) * g(x), производная будет равна произведению производной первой функции f'(x) на вторую функцию g(x), плюс произведение первой функции f(x) на производную второй функции g'(x).

2. Правило суммы производных: Для функции y = f(x) + g(x), производная будет равна сумме производных f'(x) и g'(x).

Используя эти правила, давайте вычислим производную функции y = (x^4 + x^2)(x^3 + x^2) в точке x0 = -1:

Шаг 1: Вычисление производной каждого множителя функции: - Первый множитель: y1 = x^4 + x^2. Производная первого множителя равна y1' = 4x^3 + 2x. - Второй множитель: y2 = x^3 + x^2. Производная второго множителя равна y2' = 3x^2 + 2x.

Шаг 2: Применение правила произведения производных: y' = (x^4 + x^2)'(x^3 + x^2) + (x^4 + x^2)(x^3 + x^2)' = (4x^3 + 2x)(x^3 + x^2) + (x^4 + x^2)(3x^2 + 2x)

Шаг 3: Упрощение выражения: y' = 4x^6 + 2x^4 + 4x^4 + 2x^3 + 3x^6 + 2x^4 + 3x^2 + 2x^3 = 7x^6 + 8x^4 + 4x^3 + 3x^2

Шаг 4: Подстановка значения x0 = -1 в выражение производной: y'(-1) = 7(-1)^6 + 8(-1)^4 + 4(-1)^3 + 3(-1)^2 = 7(1) + 8(1) - 4(1) + 3(1) = 7 + 8 - 4 + 3 = 14

Таким образом, производная функции y = (x^4 + x^2)(x^3 + x^2) в точке x0 = -1 равна 14.

в) Вычисление производной функции y = 5x - 1/6x + 3 в точке x0 = -1:

Для вычисления производной функции в заданной точке, мы будем использовать правило суммы производных и правило дифференцирования константы.

1. Правило суммы производных: Для функции y = f(x) + g(x), производная будет равна сумме производных f'(x) и g'(x).

2. Правило дифференцирования константы: Производная константы равна нулю.

Используя эти правила, давайте вычислим производную функции y = 5x - 1/6x + 3 в точке x0 = -1:

Шаг 1: Вычисление производной каждого слагаемого функции: - Первое слагаемое: y1 = 5x. Производная первого слагаемого равна y1' = 5. - Второе слагаемое: y2 = -1/6x. Производная второго слагаемого равна y2' = -1/6. - Третье слагаемое: y3 = 3. Производная третьего слагаемого равна y3' = 0 (константа).

Шаг 2: Сложение производных каждого слагаемого: y' = y1' + y2' + y3' = 5 - 1/6 + 0 = 5 - 1/6

Шаг 3: Подстановка значения x0 = -1 в выражение производной: y'(-1) = 5 - 1/6 = 30/6 - 1/6 = 29/6

Таким образом, производная функции y = 5x - 1/6x + 3 в точке x0 = -1 равна 29/6.