Question

2. Послідовність 2, -6, 18, -54, .. геометрична прогресія, Визначте її п-й член і суму перших семи членів.​

Answer 1

Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого ее члена к предыдущему:

$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{-6}{2} = -3$

n-ый член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель в степени (n – 1):

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 2\cdot(-3)^{n-1}$

Сумму первых n=7 членов геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$S=\dfrac{b_1\left(1-q^n\right)}{1-q} = \dfrac{2\left(1-(-3)^7\right)}{1-(-3)} = \dfrac{2(1 + 2187)}{1 + 3} = 1094$

Answer 2

Для визначення п-го члена та суми перших семи членів даної геометричної прогресії потрібно спочатку з'ясувати правило, за яким вона утворюється.

У даній послідовності маємо: перший член: 2 другий член: -6 третій член: 18 четвертий член: -54

Звернімо увагу на те, що кожний наступний член отримується множенням попереднього на -3. Тому, ми маємо геометричну прогресію з першим членом 2 та з різницею -3.

Тепер, коли ми знаємо правило геометричної прогресії, ми можемо визначити п-й член та суму перших семи членів.

Знаходження п-го члена

Загальна формула для п-го члена геометричної прогресії виглядає наступним чином:

aₙ = a₁ * r^(n-1)

де aₙ - п-й член прогресії, a₁ - перший член прогресії, r - різниця (у нашому випадку -3), n - номер члена.

Ми хочемо знайти 7-й член, тому підставимо значення в формулу:

a₇ = 2 * (-3)^(7-1)

Обчислимо вираз:

a₇ = 2 * (-3)⁶ = 2 * 729 = 1458

Отже, 7-й член геометричної прогресії дорівнює 1458.

Знаходження суми перших семи членів

Загальна формула для суми перших n членів геометричної прогресії виглядає наступним чином:

Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)

де Sₙ - сума перших n членів прогресії, a₁ - перший член прогресії, r - різниця (у нашому випадку -3), n - кількість членів.

Ми хочемо знайти суму перших семи членів, тому підставимо значення в формулу:

S₇ = 2 * (1 - (-3)⁷) / (1 - (-3))

Обчислимо вираз:

S₇ = 2 * (1 - (-2187)) / (1 + 3) = 2 * (1 + 2187) / 4 = 4378 / 4 = 1094.5

Отже, сума перших семи членів геометричної прогресії дорівнює 1094.5.

Таким чином, п-й член геометричної прогресії дорівнює 1458, а сума перших семи членів дорівнює 1094.5.