Question

Подайте бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обычной дроби 1,4(12)

Answer 1

Первый способ применяем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\frac{b_{1}}{1-q}$

$1,4(12)=1,4+\underbrace{0,012+0,00012+...}_=1,4+\frac{0,012}{1-0,01}=1,4+\frac{12}{990}=\frac{14}{10}+\frac{12}{990}=\\\\=\frac{14\cdot 99+12}{990}=\frac{1398}{990}$

По правилу перевода смешаной периодической десятичной  дроби

В числителе   из числа до второго периода 1412  вычитаем число до первого периода

1412-14=1398

В знаменателе две девятки ( так как в периоде две цифры) и 0 ( так как между запятой и первым периодом одна цифра (это 4)  990

Получаем то же самое

$1,4(12)=\frac{1412-14}{990}=\frac{1398}{990}$

Answer 2

Для того чтобы представить бесконечную десятичную периодическую дробь в виде обычной дроби, нужно сначала выразить периодическую часть в виде обычной дроби, а затем сложить её с непериодической частью.

Для числа 1,4(12) периодическая часть равна 12, а непериодическая часть равна 1. Теперь выразим периодическую часть в виде обычной дроби. Обозначим её за х.

12 = 0.121212... 100х = 12.121212...

Вычитаем первое уравнение из второго:

100х - х = 12.121212... - 0.121212... 99х = 12 х = 12 / 99 х = 4 / 33

Теперь сложим непериодическую и периодическую части:

1 + 4 / 33 = 33 / 33 + 4 / 33 = 37 / 33

Таким образом, бесконечная десятичная периодическая дробь 1,4(12) равна обычной дроби 37 / 33.