Question

Докажи, что следующая последовательность dn=11n/n+1 возрастает: Запиши, чему равны следующие члены заданной последовательности после преобразования: Заданная последовательность возрастает, так как (выбери знак): dn (<, >, =) dn+1

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:
d(n)=11n/(n+1)=(11n+11-11)/(n+1)=11-11/(n+1)
d(n+1)=11-11/(n+2)

d(n)-d(n+1)=11-11/(n+1)-11+11/(n+2)=11(-n-2+n+1)/(n+1)(n+2)=-11/(n+1)(n+2)<0 -> d(n)<d(n+1)

Answer 2

Ответ:

$d_{n}=\dfrac{11n}{n+1}\ \ \Rightarrow \ \ d_{n}=11\cdot \dfrac{n}{n+1}=11\cdot \dfrac{(n+1)-1}{n+1}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)\\\\\\d_{n+1}=\dfrac{11(n+1)}{(n+1)+1}=11\cdot \dfrac{n+1}{n+2}=11\cdot \dfrac{n+1+1-1}{n+2}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}\Big)\\\\\\\\d_{n+1}-d_{n}=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}\Big)-11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+1}\Big)=11\cdot \Big(1-\dfrac{1}{n+2}-1+\dfrac{1}{n+1}\Big)=\\\\\\=11\cdot \dfrac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}=11\cdot \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{11}{(n+1)(n+2)} > 0$

Разность между последующим и предыдущим членами последовательности положительна, так как  n - номер члена последовательности и  $n > 0\ \ (n=1,2,3,...)$  .  Значит

$d_{n+1}-d_{n} > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {d_{n+1} > d_{n}}\ \ \Rightarrow$   заданная последовательность возрастает .  

Answer 3

Для доказательства возрастания последовательности {dn = (11n) / (n + 1)}, мы можем сравнить каждый член с его следующим членом и показать, что предыдущий член меньше следующего.

Давайте рассмотрим выражение для dn и dn+1:

dn = (11n) / (n + 1) dn+1 = (11(n + 1)) / (n + 2)

Мы можем сравнить два члена, вычтя dn+1 из dn:

dn - dn+1 = (11n) / (n + 1) - (11(n + 1)) / (n + 2)

Для удобства, домножим первую дробь на (n + 2) и вторую дробь на (n + 1):

dn - dn+1 = [(11n)(n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)] - [(11(n + 1))(n + 1)] / [(n + 1)(n + 2)]

Теперь объединим числители в одну дробь:

dn - dn+1 = [(11n)(n + 2) - (11(n + 1))(n + 1)] / [(n + 1)(n + 2)]

Раскроем скобки:

dn - dn+1 = [11n^2 + 22n - 11n^2 - 22n - 11] / [(n + 1)(n + 2)]

Упростим:

dn - dn+1 = -11 / [(n + 1)(n + 2)]

Мы видим, что выражение dn - dn+1 равно постоянному отрицательному значению (-11), независимо от значения n. Это означает, что dn всегда меньше dn+1, и поэтому последовательность {dn} возрастает.

Чтобы определить следующие члены последовательности после преобразования, мы можем подставить значения n и n+1 в выражение для dn:

d(n+1) = (11(n+1)) / ((n+1) + 1) = (11(n+1)) / (n+2)

Таким образом, следующие члены последовательности после преобразования равны dn+1 = (11(n+1)) / (n+2).