Question

Sin(x) + 2 sin^2(x) = sin(2x) + cos (x) Помогите решить

Answer 1

Переходим к одному аргументу:

$sin2x=2sinx\cdot cosx$

Тогда уравнение можно записать в виде:

$sinx+2sin^2x=2sinx\cdot cosx+cosx$

Переносим все слагаемые влево и раскладываем на множители способом группировки:

$(sinx+2sin^2x)-(2sinx\cdot cosx+cosx)=0$

$sinx\cdot (1+2sinx)-cosx\cdot (2sinx+1)=0$

$(1+2sinx)\cdot (sinx-cosx)=0$

$1+2sinx=0$                                 или            $sinx-cosx=0$

$sinx=-\frac{1}{2}$                                     или            $tgx=1$

$x=(-1)^{k}arcsin(-\frac{1}{2})+\pi k, k \in Z$  или               $x=arctg1 +\pi n, n \in Z$

$x=(-1)^{k}(-\frac{\pi }{6})+\pi k, k \in Z$           или               $x=\frac{\pi }{4} +\pi n, n \in Z$

О т в е т        $(-1)^{k}(-\frac{\pi }{6})+\pi k, k \in Z$;    $\frac{\pi }{4} +\pi n, n \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: sin(x) + 2sin^2(x) = sin(2x) + cos(x)

Сначала заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)), используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin(x) + 2(1 - cos^2(x)) = sin(2x) + cos(x)

Раскроем скобки:

sin(x) + 2 - 2cos^2(x) = sin(2x) + cos(x)

Теперь заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и cos^2(x) на 1 - sin^2(x), используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

sin(x) + 2 - 2(1 - sin^2(x)) = 2sin(x)cos(x) + cos(x)

Раскроем скобки:

sin(x) + 2 - 2 + 2sin^2(x) = 2sin(x)cos(x) + cos(x)

Упростим уравнение:

2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя тригонометрические тождества и методы решения уравнений.